Matematyka

Podstawowy — szkoła podstawowa

Zależności geometryczne

Twierdzenie Pitagorasa

Pomoce naukowe

W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest sumą kwadratów przyprostokątnych. Najpierw znajdź bok leżący naprzeciw kąta prostego. To on musi stać sam po jednej stronie równania.

Najważniejsze w skrócie

  • a2 + b2 = c2
  • c2 = a2 + b2 → kąt naprzeciw c ma 90°.

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Kwadraty i pierwiastki.

Po tej lekcji

  • Oznacz boki przed podstawieniem
  • Sprawdź, czy kąt jest prosty

Oznacz boki przed podstawieniem

Przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem i leży naprzeciw 90°. Gdy szukamy jej długości, dodajemy kwadraty przyprostokątnych. Gdy szukamy przyprostokątnej, odejmujemy jej znany kwadrat od kwadratu przeciwprostokątnej.

a2 + b2 = c2

Równość dotyczy pól kwadratów zbudowanych na bokach trójkąta prostokątnego.

Kiedy stosujemy: c jest przeciwprostokątną; trójkąt musi być prostokątny.

Przykłady zastosowania

  • 32 + 42 = 52.
435

52=32+42. Najdłuższy bok leży naprzeciw znacznika kąta prostego.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Porównaj położenie przyprostokątnych i przeciwprostokątnej.

Wybieraj elementy rysunku i poznawaj ich własności. To swobodna powtórka bez ocen.

Powiększenie i przesuwanie

Plus i minus zmieniają powiększenie. Strzałki przesuwają powiększoną grafikę, Home przywraca całość. Możesz użyć przycisków lub klawiatury po ustawieniu fokusu na grafice.

Opis i oznaczenia

Trójkąt z podanymi bokami i symboliczną niewiadomą

Wybierz element

Nie zaznaczono żadnego elementu.

Pomoc do wyboru

Wskaż element lub wybierz go z listy, aby przeczytać opis. To eksploracja bez oceny.

Wybierz element, aby przeczytać jego opis.

Źródła: [1] [2].

Sprawdź, czy kąt jest prosty

Jeśli dodatnie długości tworzą trójkąt i kwadrat najdłuższego boku równa się sumie kwadratów pozostałych, trójkąt jest prostokątny. Sam wygląd szkicu nie dowodzi prostokątności.

c2 = a2 + b2 → kąt naprzeciw c ma 90°.

To twierdzenie odwrotne, służące do rozpoznawania trójkąta.

Kiedy stosujemy: Najpierw wybierz najdłuższy bok jako c.

Przykłady zastosowania

  • 5,12,13 spełniają 25 + 144 = 169.

Źródła: [1] [2].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Oblicz przeciwprostokątną

Pytanie lub sytuacja: Przyprostokątne mają 6 i 8 cm. Oblicz przeciwprostokątną.

6 cmc8 cm

Przyprostokątne mają 6 cm i 8 cm. Szukana przeciwprostokątna c leży naprzeciw znacznika kąta prostego.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Dodaj kwadraty.

  1. c2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100.
  2. c=100.c = √100.
  3. Długość jest dodatnia, więc c = 10 cm.

Odpowiedź: 10 cm.

Sprawdzenie i interpretacja: 62 + 82 = 102.

2. Oblicz przyprostokątną

Pytanie lub sytuacja: Przeciwprostokątna ma 13 cm, jedna przyprostokątna 5 cm. Oblicz drugą.

5 cm13 cmb

Przeciwprostokątna ma 13 cm, jedna przyprostokątna 5 cm. Drugą oznaczono b.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Odejmij kwadraty.

  1. b2 = 132 − 52 = 169 − 25.
  2. b2 = 144.
  3. b = 12 cm.

Odpowiedź: 12 cm.

Sprawdzenie i interpretacja: 52 + 122 = 169.

3. Przekątna kwadratu

Pytanie lub sytuacja: Kwadrat ma bok 3 cm. Oblicz przekątną.

3 cm3 cmd

Boki kwadratu mają po 3 cm. Przekątna d dzieli go na dwa trójkąty; obliczamy długość d.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Utwórz trójkąt prostokątny.

  1. Przekątna jest przeciwprostokątną przy bokach 3 i 3.
  2. d2 = 9 + 9 = 18.
  3. d=18=32d = √18 = 3√2 cm.

Odpowiedź: 323√2 cm.

Sprawdzenie i interpretacja: (32)2=18.(3√2)^2 = 18.

4. Drabina

Pytanie lub sytuacja: Drabina 5 m opiera się o ścianę; stopa jest 3 m od ściany. Na jaką wysokość sięga?

3 m5 mh

Poziomy odstęp wynosi 3 m, długość drabiny 5 m. Pionową wysokość oznaczono h.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Wskaż przeciwprostokątną.

  1. Drabina jest bokiem naprzeciw kąta między ziemią a ścianą.
  2. h2 = 52 − 32 = 16.
  3. h = 4 m.

Odpowiedź: 4 m.

Sprawdzenie i interpretacja: 32 + 42 = 52.

5. Rozpoznanie

Pytanie lub sytuacja: Czy trójkąt o bokach 5,12,13 jest prostokątny?

51312

Dane boki: 5, 12 i 13. Prostokątność sprawdzamy przez porównanie kwadratów długości.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Sprawdź największy bok.

  1. Największy bok to 13.
  2. 52 + 122 = 25 + 144 = 169.
  3. 132 = 169, więc zachodzi równość.

Odpowiedź: Tak.

Sprawdzenie i interpretacja: Suma krótszych boków 17 jest większa od 13, więc trójkąt istnieje.

6. Kontrprzykład

Pytanie lub sytuacja: Czy boki 4,5,6 tworzą trójkąt prostokątny?

465

Dane boki: 4, 5 i 6. Sprawdź, czy zachodzi równość z twierdzenia odwrotnego.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Porównaj kwadraty.

  1. Najdłuższy bok to 6.
  2. 42 + 52 = 41.
  3. 62 = 36; wartości nie są równe.

Odpowiedź: Nie.

Sprawdzenie i interpretacja: 41 ≠ 36.

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Przy c = 13 i a = 5: b2 = 169 + 25.

Dlaczego to błąd: Dodawanie stosuje się do szukanej przeciwprostokątnej.

Poprawnie: b2 = 169 − 25.

Błędne rozumowanie: W każdym trójkącie a2 + b2 = c2.

Dlaczego to błąd: Brakuje warunku kąta prostego.

Poprawnie: Najpierw potwierdź prostokątność.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Równość dotyczy pól kwadratów zbudowanych na bokach trójkąta prostokątnego.
  • To twierdzenie odwrotne, służące do rozpoznawania trójkąta.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 01.11.2026.

  1. ZPE: Matematyka — szkoła podstawowa

    Zakres źródła: Treści nauczania: obliczenia, geometria i rozumowanie

  2. ZPE: Twierdzenie Pitagorasa

    Zakres źródła: Twierdzenie i geometryczny dowód