Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: podstawowy

Stereometria

Walce

Pomoce naukowe

Walec prosty ma dwie jednakowe kołowe podstawy i powierzchnię boczną, którą po rozwinięciu można ułożyć w prostokąt. Jeden bok tego prostokąta jest obwodem podstawy, a drugi wysokością walca.

Najważniejsze w skrócie

  • V = πr2H; Pb = 2πrH; Pc = 2πr2 + 2πrH
  • P przekroju osiowego = 2rH

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Koło i pola prostokątów.

Po tej lekcji

  • Rozwiń powierzchnię boczną
  • Przekrój przez oś

Rozwiń powierzchnię boczną

Zakres: Podstawowy

Pole podstawy wynosi πr2. Rozwinięcie boku ma wymiary 2πr i H, więc jego pole wynosi 2πrH. Do pola całkowitego dodajemy dwie podstawy.

V = πr2H; Pb = 2πrH; Pc = 2πr2 + 2πrH

Walec składa się z warstw o tej samej kołowej podstawie.

Kiedy stosujemy: r > 0, H > 0; średnica d = 2r.

Przykłady zastosowania

  • Dla r = 2, H = 5: V = 20π.
rH

Elipsy przedstawiają koła widziane w perspektywie; schemat nie zachowuje skali długości.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Źródła: [2].

Przekrój przez oś

Zakres: Podstawowy

Płaszczyzna zawierająca oś walca przecina go w prostokącie o bokach 2r i H. Przekątna tego prostokąta nie jest wysokością walca.

P przekroju osiowego = 2rH

Średnica podstawy jest szerokością przekroju.

Kiedy stosujemy: Przekrój musi przechodzić przez oś.

Przykłady zastosowania

  • Dla r = 3 i H = 8 przekrój ma boki 6 i 8.

Źródła: [2].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Objętość

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Walec ma r = 3 cm i H = 5 cm. Oblicz objętość.

Jak podejść do zadania: Pomnóż pole koła przez wysokość.

  1. Pp = 9π cm2.
  2. V = 9π · 5.
  3. V = 45π cm3.

Odpowiedź: 45π cm3.

Sprawdzenie i interpretacja: 45π5=9π45π/5 = 9π cm2.

Przećwicz ten zakres

2. Pole boczne

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Walec ma r = 2 i H = 7. Oblicz pole boczne.

Jak podejść do zadania: Użyj obwodu podstawy.

  1. Obwód podstawy = 4π.
  2. Pb = 4π · 7.
  3. Pb = 28π.

Odpowiedź: 28π.

Sprawdzenie i interpretacja: Rozwinięty prostokąt ma boki 4π i 7.

Przećwicz ten zakres

3. Pole całkowite

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Walec ma r = 2, H = 7. Oblicz pole całkowite.

Jak podejść do zadania: Dodaj dwie podstawy.

  1. Pb = 28π.
  2. Dwie podstawy: 2π · 22 = 8π.
  3. Pc = 36π.

Odpowiedź: 36π.

Sprawdzenie i interpretacja: 36π − 28π = 8π, czyli dwie podstawy.

Przećwicz ten zakres

4. Dane średnicą

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Walec ma d = 10 i H = 4. Oblicz objętość.

Jak podejść do zadania: Najpierw podziel średnicę.

  1. r = 5.
  2. V = π · 25 · 4.
  3. V = 100π.

Odpowiedź: 100π.

Sprawdzenie i interpretacja: Podstawienie d jako r dałoby wynik cztery razy za duży.

Przećwicz ten zakres

5. Wysokość z objętości

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: V = 72π, r = 3. Oblicz H.

Jak podejść do zadania: Podziel przez pole podstawy.

  1. Pp = 9π.
  2. H=72π(9π).H = 72π/(9π).
  3. H = 8.

Odpowiedź: 8.

Sprawdzenie i interpretacja: π · 32 · 8 = 72π.

Przećwicz ten zakres

6. Przekątna przekroju

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: r = 3, H = 8. Oblicz przekątną przekroju osiowego.

Jak podejść do zadania: Użyj prostokąta 2r na H.

  1. Szerokość to 6.
  2. D2 = 62 + 82 = 100.
  3. D = 10.

Odpowiedź: 10.

Sprawdzenie i interpretacja: Trójkąt pomocniczy ma boki 6,8,10.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Pb walca = πr2H.

Dlaczego to błąd: To objętość, nie pole.

Poprawnie: Pb = 2πrH.

Błędne rozumowanie: Przekrój osiowy ma szerokość r.

Dlaczego to błąd: Przecina obie strony podstawy.

Poprawnie: Szerokość to 2r.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Walec składa się z warstw o tej samej kołowej podstawie.
  • Średnica podstawy jest szerokością przekroju.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 23.10.2026.

  1. ZPE: Matematyka — liceum i technikum

    Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym

  2. CKE: Stereometria

    Zakres źródła: Rozdział 12: graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe