Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: podstawowy i rozszerzenie

Planimetria

Twierdzenie sinusów

Pomoce naukowe

Twierdzenie sinusów porównuje każdy bok z sinusem kąta leżącego naprzeciw niego. Pomaga, gdy znamy parę bok–kąt oraz drugi bok lub kąt. Łączy też trójkąt z okręgiem opisanym.

Najważniejsze w skrócie

  • asinα=bsinβ=csinγ=2Ra/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R
  • sinβ=sin(180°-β)sin β = sin(180° − β)

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Sinus i suma kątów trójkąta.

Po tej lekcji

  • Dopasuj bok do przeciwległego kąta
  • Sprawdź oba kąty o tym samym sinusie

Dopasuj bok do przeciwległego kąta

Zakres: Podstawowy

Litera a oznacza bok naprzeciw α. Nie wybieramy kąta dotykającego boku według wygody rachunku. Stały iloraz asinαa/sin α jest średnicą okręgu opisanego, nie jego promieniem.

asinα=bsinβ=csinγ=2Ra/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R

Związek wynika z tego, że bok jest cięciwą okręgu opisanego.

Kiedy stosujemy: Trójkąt jest niedegenerowany; kąty należą do (0°,180°).

Przykłady zastosowania

  • a = 6, α = 30° → 2R = 12.

Źródła: [3].

Sprawdź oba kąty o tym samym sinusie

Zakres: Rozszerzenie

Dla 0 < u < 1 równanie sin β = u może dawać kąt ostry β oraz rozwarty 180° − β. Każdy kandydat musi z danym α mieć sumę mniejszą niż 180°.

Dane bok–bok–kąt nie zawsze wyznaczają jeden trójkąt.

sinβ=sin(180°-β)sin β = sin(180° − β)

Wzór na sinus nie odróżnia dwóch uzupełniających się kątów.

Kiedy stosujemy: Odrzuć kandydata tylko na podstawie warunków, nie intuicji szkicu.

Przykłady zastosowania

  • Przy α = 30° możliwe β = 45° i 135°.

Źródła: [3].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Drugi bok

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: a = 6, α = 30°, β = 90°. Oblicz b.

Jak podejść do zadania: Użyj proporcji boków i sinusów.

  1. asinα=6(12)=12.a/sin α = 6/(1/2) = 12.
  2. b = 12 sin 90°.
  3. sin 90° = 1, więc b = 12.

Odpowiedź: 12.

Sprawdzenie i interpretacja: W trójkącie 30°–60°–90° bok naprzeciw 30° jest połową przeciwprostokątnej.

Przećwicz ten zakres

2. Promień opisany

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: a = 8, α = 30°. Oblicz R.

Jak podejść do zadania: Wyznacz 2R.

  1. 2R=8(12)=16.2R = 8/(1/2) = 16.
  2. R = .
  3. R = 8.

Odpowiedź: 8.

Sprawdzenie i interpretacja: 2R sin 30° = 16 · = 8.

Przećwicz ten zakres

3. Kąt w trójkącie prostokątnym

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Przeciwprostokątna b = 10, bok a = 5. Oblicz kąt α naprzeciw a.

Jak podejść do zadania: Użyj sinα=ab.sin α = a/b.

  1. Kąt α jest ostry.
  2. sin α = = .
  3. Wśród ostrych kątów α = 30°.

Odpowiedź: 30°.

Sprawdzenie i interpretacja: 10 sin 30° = 5.

Przećwicz ten zakres

4. Dwa dopuszczalne kąty

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: α=30°,a=2,b=22.α = 30°, a = 2, b = 2√2. Znajdź możliwe β.

Jak podejść do zadania: Sprawdź dwa kąty z tym samym sinusem.

  1. sinβ=bsinαa=(22)(12)2=22.sin β = b sin α/a = (2√2)(1/2)/2 = √2/2.
  2. Kandydaci: 45° i 135°.
  3. 30° + 45° < 180° i 30° + 135° < 180°, więc oba pasują.

Odpowiedź: β = 45° lub 135°.

Sprawdzenie i interpretacja: Trzecie kąty wynoszą odpowiednio 105° i 15°.

Przećwicz ten zakres

5. Niemożliwe dane

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: α = 30°, a = 2, b = 5. Czy istnieje taki trójkąt?

Jak podejść do zadania: Sprawdź zakres sinusa.

  1. sinβ=5·(12)2=54.sin β = 5 · (1/2)/2 = 5/4.
  2. Sinus kąta rzeczywistego nie przekracza 1.
  3. Warunek jest niemożliwy.

Odpowiedź: Nie istnieje.

Sprawdzenie i interpretacja: > 1.

Przećwicz ten zakres

6. Cięciwa i średnica

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Okrąg opisany ma R = 5, a kąt naprzeciw boku a ma 120°. Oblicz a.

Jak podejść do zadania: Użyj a = 2R sin α.

  1. 2R = 10.
  2. sin120°=32.sin 120° = √3/2.
  3. a=10·32=53.a = 10 · √3/2 = 5√3.

Odpowiedź: 53.5√3.

Sprawdzenie i interpretacja: Długość jest mniejsza od średnicy 10.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: asinα=R.a/sin α = R.

Dlaczego to błąd: Iloraz jest średnicą, nie promieniem.

Poprawnie: asinα=2R.a/sin α = 2R.

Błędne rozumowanie: sinβ=22sin β = √2/2 zawsze daje tylko 45°.

Dlaczego to błąd: W przedziale (0°,180°) jest też 135°.

Poprawnie: Sprawdź oba względem sumy kątów.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Związek wynika z tego, że bok jest cięciwą okręgu opisanego.
  • Wzór na sinus nie odróżnia dwóch uzupełniających się kątów.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 23.10.2026.

  1. ZPE: Matematyka — liceum i technikum

    Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym

  2. CKE: Wybrane wzory matematyczne — planimetria

    Zakres źródła: Rozdział 10: trójkąty, okręgi, podobieństwo i pola

  3. ZPE: Zastosowanie twierdzenia sinusów do obliczania pola trójkąta

    Zakres źródła: Twierdzenie sinusów, promień okręgu opisanego i wzory na pole