Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: podstawowy

Planimetria

Twierdzenie cosinusów

Pomoce naukowe

Twierdzenie cosinusów pozwala obliczyć trzeci bok z dwóch boków i zawartego między nimi kąta albo kąt z trzech boków. Jest uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa: dla 90° dodatkowy składnik znika.

Najważniejsze w skrócie

  • a2 = b2 + c2 − 2bc cos α
  • cosα=(b2+c2-a2)(2bc)cos α = (b^2 + c^2 − a^2)/(2bc)

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Cosinus i kwadraty długości.

Po tej lekcji

  • Wskaż kąt między znanymi bokami
  • Przekształć wzór, aby znaleźć cosinus

Wskaż kąt między znanymi bokami

Zakres: Podstawowy

Jeśli znamy b i c oraz kąt α między nimi, bok a leży naprzeciw α. Dla kąta rozwartego cosinus jest ujemny, więc odjęcie składnika z cosinusem zwiększa sumę kwadratów.

a2 = b2 + c2 − 2bc cos α

Po opuszczeniu wysokości wzór wynika z twierdzenia Pitagorasa i rzutu jednego boku na drugi.

Kiedy stosujemy: Długości dodatnie, 0° < α < 180°.

Przykłady zastosowania

  • Dla α = 90° otrzymujemy a2 = b2 + c2.

Źródła: [3].

Przekształć wzór, aby znaleźć cosinus

Zakres: Podstawowy

Z trzech długości wyznaczamy cosα=(b2+c2-a2)(2bc).cos α = (b^2 + c^2 − a^2)/(2bc). Znak cosinusa rozpoznaje kąt: dodatni ostry, zero prosty, ujemny rozwarty.

Największy kąt leży naprzeciw najdłuższego boku.

cosα=(b2+c2-a2)(2bc)cos α = (b^2 + c^2 − a^2)/(2bc)

Mianownik jest dodatni, więc o znaku decyduje licznik.

Kiedy stosujemy: Najpierw upewnij się, że boki spełniają nierówność trójkąta.

Przykłady zastosowania

  • a2 > b2 + c2 oznacza kąt α rozwarty.

Źródła: [3].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Kąt 60°

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Dwa boki mają 5 i 8, kąt między nimi 60°. Oblicz trzeci bok.

Jak podejść do zadania: Podstaw znany cosinus.

  1. a2=25+64-2·5·8·12.a^2 = 25 + 64 − 2 · 5 · 8 · 1/2.
  2. a2 = 89 − 40 = 49.
  3. a = 7.

Odpowiedź: 7.

Sprawdzenie i interpretacja: 7,5,8 spełniają nierówność trójkąta.

Przećwicz ten zakres

2. Kąt 120°

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Dwa boki mają 3 i 4, kąt między nimi 120°. Oblicz trzeci.

Jak podejść do zadania: Uwzględnij ujemny cosinus.

  1. cos 120° = −.
  2. a2=9+16-24(-12)=37.a^2 = 9 + 16 − 24(−1/2) = 37.
  3. a=37.a = √37.

Odpowiedź: 37.√37.

Sprawdzenie i interpretacja: 37>5,√37 > 5, zgodnie z kątem większym niż prosty przy tych samych bokach.

Przećwicz ten zakres

3. Przypadek prosty

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Boki 6 i 8 obejmują kąt prosty. Oblicz trzeci bok.

Jak podejść do zadania: Zauważ znikający składnik.

  1. cos 90° = 0.
  2. a2 = 36 + 64 = 100.
  3. a = 10.

Odpowiedź: 10.

Sprawdzenie i interpretacja: Otrzymujemy dokładnie twierdzenie Pitagorasa.

Przećwicz ten zakres

4. Kąt z trzech boków

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Trójkąt ma boki 5,5,5. Oblicz jeden kąt ze wzoru cosinusów.

Jak podejść do zadania: Wyznacz wartość cosinusa.

  1. cosα=(25+25-25)(2·5·5).cos α = (25 + 25 − 25)/(2 · 5 · 5).
  2. cos α = .
  3. W (0°,180°) odpowiada temu α = 60°.

Odpowiedź: 60°.

Sprawdzenie i interpretacja: Wszystkie boki równe, więc wszystkie kąty po 60°.

Przećwicz ten zakres

5. Największy kąt

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Czy trójkąt o bokach 4,5,7 jest ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny?

Jak podejść do zadania: Zbadaj kąt naprzeciw 7.

  1. 72 = 49; 42 + 52 = 41.
  2. coscos największego kąta =(41-49)40=-15.= (41 − 49)/40 = −1/5.
  3. Ujemny cosinus oznacza kąt rozwarty.

Odpowiedź: Rozwartokątny.

Sprawdzenie i interpretacja: 4 + 5 > 7, więc trójkąt istnieje.

Przećwicz ten zakres

6. Przekątna równoległoboku

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Boki równoległoboku mają 3 i 5, kąt między nimi 60°. Oblicz krótszą przekątną.

Jak podejść do zadania: Wybierz trójkąt z kątem 60°.

  1. d2 = 32 + 52 − 2 · 3 · 5 cos 60°.
  2. d2 = 34 − 15 = 19.
  3. d=19;d = √19; druga przekątna odpowiada 120° i jest dłuższa.

Odpowiedź: 19.√19.

Sprawdzenie i interpretacja: Dłuższa ma kwadrat 49, a suma kwadratów przekątnych 19 + 49 = 2(9 + 25).

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Dla 120° odejmujemy dodatnie 12.

Dlaczego to błąd: Cosinus kąta rozwartego jest ujemny.

Poprawnie: −24 · (−) = +12.

Błędne rozumowanie: Wzór używa dowolnego kąta obok danych boków.

Dlaczego to błąd: Kąt musi leżeć między wskazanymi bokami.

Poprawnie: Bok szukany leży naprzeciw użytego kąta.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Po opuszczeniu wysokości wzór wynika z twierdzenia Pitagorasa i rzutu jednego boku na drugi.
  • Mianownik jest dodatni, więc o znaku decyduje licznik.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 23.10.2026.

  1. ZPE: Matematyka — liceum i technikum

    Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym

  2. CKE: Wybrane wzory matematyczne — planimetria

    Zakres źródła: Rozdział 10: trójkąty, okręgi, podobieństwo i pola

  3. ZPE: Twierdzenie cosinusów

    Zakres źródła: Wyprowadzenie i zastosowania do boków oraz kątów