Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: podstawowy

Stereometria

Stożki

Pomoce naukowe

Stożek prosty ma kołową podstawę, wysokość prostopadłą do niej i tworzącą biegnącą po powierzchni bocznej. Te trzy długości tworzą w przekroju prostokątny trójkąt: promień i wysokość są przyprostokątnymi.

Najważniejsze w skrócie

  • ℓ2=r2+H2;V=πr2H3ℓ^2 = r^2 + H^2; V = πr^2H/3
  • Pb = πrℓ; Pc = πr2 + πrℓ

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Pitagoras i pola koła.

Po tej lekcji

  • Nie myl wysokości z tworzącą
  • Rozwiń bok w wycinek koła

Nie myl wysokości z tworzącą

Zakres: Podstawowy

Wysokość H leży wewnątrz stożka, a tworząca ℓ łączy wierzchołek z okręgiem podstawy. Objętość zależy od H, natomiast pole boczne od ℓ.

ℓ2=r2+H2;V=πr2H3ℓ^2 = r^2 + H^2; V = πr^2H/3

Połowa przekroju osiowego jest trójkątem prostokątnym.

Kiedy stosujemy: Dla niedegenerowanego stożka ℓ > r > 0.

Przykłady zastosowania

  • r = 3, H = 4 → ℓ = 5.

Źródła: [2].

Rozwiń bok w wycinek koła

Zakres: Podstawowy

Rozwinięciem powierzchni bocznej jest wycinek koła o promieniu ℓ. Długość jego łuku jest obwodem podstawy 2πr. To pozwala obliczyć pole i kąt wycinka.

Pb = πrℓ; Pc = πr2 + πrℓ

Pole wycinka to połowa iloczynu jego promienia i długości łuku.

Kiedy stosujemy: Kąt wycinka w stopniach wynosi 360°·rℓ.360° · r/ℓ.

Przykłady zastosowania

  • rℓ=12→r/ℓ = 1/2 → wycinek ma 180°.

Źródła: [2].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Tworząca

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: r = 3, H = 4. Oblicz ℓ.

Jak podejść do zadania: Zastosuj Pitagorasa.

  1. ℓ2 = 9 + 16.
  2. ℓ2 = 25.
  3. ℓ = 5.

Odpowiedź: 5.

Sprawdzenie i interpretacja: 5 jest większe od 3 i 4.

Przećwicz ten zakres

2. Wysokość

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: r = 5, ℓ = 13. Oblicz H.

Jak podejść do zadania: Odejmij kwadrat promienia.

  1. H2 = 169 − 25 = 144.
  2. H=144.H = √144.
  3. H = 12.

Odpowiedź: 12.

Sprawdzenie i interpretacja: 52 + 122 = 132.

Przećwicz ten zakres

3. Objętość

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: r = 3, H = 4. Oblicz V.

Jak podejść do zadania: Weź jedną trzecią objętości walca.

  1. πr2H = 36π.
  2. 36π/3 = 12π.
  3. Wynik jest dokładny.

Odpowiedź: 12π.

Sprawdzenie i interpretacja: Trzy takie objętości dają 36π.

Przećwicz ten zakres

4. Pole całkowite

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: r = 3, ℓ = 5. Oblicz Pc.

Jak podejść do zadania: Dodaj koło i powierzchnię boczną.

  1. Pp = 9π.
  2. Pb = π · 3 · 5 = 15π.
  3. Pc = 24π.

Odpowiedź: 24π.

Sprawdzenie i interpretacja: 24π − 9π = 15π.

Przećwicz ten zakres

5. Kąt rozwinięcia

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: r = 3, ℓ = 6. Oblicz kąt wycinka rozwinięcia.

Jak podejść do zadania: Porównaj łuk z całym okręgiem promienia ℓ.

  1. Łuk podstawy: 2πr = 6π.
  2. Cały okrąg promienia 6 ma długość 12π.
  3. Wycinek stanowi połowę koła: 180°.

Odpowiedź: 180°.

Sprawdzenie i interpretacja: 180°/360° · 2π · 6 = 6π.

Przećwicz ten zakres

6. Promień z objętości

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: V = 36π, H = 3. Oblicz r.

Jak podejść do zadania: Przekształć wzór.

  1. 36π=πr2·33=πr2.36π = πr^2 · 3/3 = πr^2.
  2. r2 = 36.
  3. r = 6.

Odpowiedź: 6.

Sprawdzenie i interpretacja: π·62·33=36π.π · 6^2 · 3/3 = 36π.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Do objętości podstawiamy tworzącą ℓ.

Dlaczego to błąd: Wzór wykorzystuje prostopadłą wysokość.

Poprawnie: Najpierw H=ℓ2-r2.H = √(ℓ^2 − r^2).

Błędne rozumowanie: Pole całkowite stożka ma dwie podstawy.

Dlaczego to błąd: Stożek ma jedną podstawę.

Poprawnie: Pc = πr2 + πrℓ.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Połowa przekroju osiowego jest trójkątem prostokątnym.
  • Pole wycinka to połowa iloczynu jego promienia i długości łuku.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 23.10.2026.

  1. ZPE: Matematyka — liceum i technikum

    Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym

  2. CKE: Stereometria

    Zakres źródła: Rozdział 12: graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe