Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: podstawowy i rozszerzenie

Planimetria

Podobieństwo figur

Pomoce naukowe

Figury podobne mają te same kąty i proporcjonalne odpowiednie długości. Najpierw ustal, której figurze odpowiada licznik skali. Potem rozróżnij skalowanie długości i pól.

Najważniejsze w skrócie

  • Skala długości k daje skalę pól k2.
  • W trójkącie prostokątnym a2 = cp i h2 = pq

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Proporcje i pola.

Po tej lekcji

  • Dopasuj odpowiednie boki
  • Rozpoznaj podobne trójkąty

Dopasuj odpowiednie boki

Zakres: Podstawowy

Jeżeli bok 3 pierwszego trójkąta odpowiada bokowi 6 drugiego, skala przejścia z pierwszego do drugiego to 2. Każdy odpowiedni bok i obwód mnożymy przez 2, a pole przez 4.

Skala długości k daje skalę pól k2.

Pole zawiera iloczyn dwóch długości.

Kiedy stosujemy: Figury muszą być podobne, a odpowiadające boki poprawnie przypisane.

Przykłady zastosowania

  • Skala 3 daje pole 9 razy większe.

Źródła: [2].

Rozpoznaj podobne trójkąty

Zakres: Rozszerzenie

Równość dwóch kątów wystarcza do podobieństwa trójkątów. Prosta równoległa do boku trójkąta odcina trójkąt podobny do całego. Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną tworzy dwa dalsze trójkąty podobne.

W trójkącie prostokątnym a2 = cp i h2 = pq

p i q są rzutami przyprostokątnych na przeciwprostokątną c = p + q.

Kiedy stosujemy: p odpowiada przyprostokątnej a; h jest wysokością na c.

Przykłady zastosowania

  • p = 4, q = 9 → h = 6.

Źródła: [2].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Brakujący bok

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Bok 4 odpowiada bokowi 10. Jaki bok odpowiada bokowi 6?

Jak podejść do zadania: Wyznacz skalę w jednym kierunku.

  1. k = = 2,5.
  2. Szukany bok = 6 · 2,5.
  3. Otrzymujemy 15.

Odpowiedź: 15.

Sprawdzenie i interpretacja: = .

Przećwicz ten zakres

2. Pole w skali

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Pole figury wynosi 12, skala długości do drugiej figury to 3. Oblicz jej pole.

Jak podejść do zadania: Podnieś skalę do kwadratu.

  1. k2 = 9.
  2. 12 · 9 = 108.
  3. Pole zmienia się mocniej niż długość.

Odpowiedź: 108.

Sprawdzenie i interpretacja: 10812=9=32.108/12 = 9 = 3^2.

Przećwicz ten zakres

3. Od pól do długości

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Pola podobnych figur wynoszą 16 i 100. Podaj skalę długości od pierwszej do drugiej.

Jak podejść do zadania: Wyciągnij dodatni pierwiastek ze stosunku pól.

  1. k2=10016=254.k^2 = 100/16 = 25/4.
  2. k=254.k = √(25/4).
  3. k = .

Odpowiedź: .

Sprawdzenie i interpretacja: (52)2=254.(5/2)^2 = 25/4.

Przećwicz ten zakres

4. Odcinek równoległy

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: D leży na AB, E na AC, DE ∥ BC. AD = 3, AB = 9, BC = 12. Oblicz DE.

Jak podejść do zadania: Porównaj mały trójkąt z całym.

  1. ADE i ABC są podobne z równych kątów.
  2. Skala małego do dużego wynosi = .
  3. DE = = 4.

Odpowiedź: 4.

Sprawdzenie i interpretacja: DE/BC = AD/AB = .

Przećwicz ten zakres

5. Wysokość na przeciwprostokątną

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Wysokość dzieli przeciwprostokątną na 4 i 9. Oblicz wysokość.

Jak podejść do zadania: Użyj średniej geometrycznej rzutów.

  1. h2 = pq = 4 · 9.
  2. h2 = 36.
  3. h = 6.

Odpowiedź: 6.

Sprawdzenie i interpretacja: 62 = 4 · 9.

Przećwicz ten zakres

6. Przyprostokątna z rzutu

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Przeciwprostokątna ma 25, rzut przyprostokątnej a ma 9. Oblicz a.

Jak podejść do zadania: Użyj a2 = cp.

  1. a2 = 25 · 9 = 225.
  2. a = 15.
  3. Drugi rzut ma 16, więc druga przyprostokątna ma 20.

Odpowiedź: 15.

Sprawdzenie i interpretacja: 152 + 202 = 252.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Pole rośnie k razy.

Dlaczego to błąd: Pole zależy od dwóch długości.

Poprawnie: Pole rośnie k2 razy.

Błędne rozumowanie: W dowolnym trójkącie h2 = pq.

Dlaczego to błąd: To zależność wysokości na przeciwprostokątną w prostokątnym.

Poprawnie: Sprawdź założenie kąta prostego.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Pole zawiera iloczyn dwóch długości.
  • p i q są rzutami przyprostokątnych na przeciwprostokątną c = p + q.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 23.10.2026.

  1. ZPE: Matematyka — liceum i technikum

    Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym

  2. CKE: Wybrane wzory matematyczne — planimetria

    Zakres źródła: Rozdział 10: trójkąty, okręgi, podobieństwo i pola