Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: podstawowy

Stereometria

Kule

Pomoce naukowe

Sfera jest powierzchnią, a kula obejmuje jej wnętrze. Objętość kuli zależy od sześcianu promienia, a pole sfery od kwadratu. Płaszczyzna przechodząca przez środek daje największy kołowy przekrój.

Najważniejsze w skrócie

  • P=4πr2;V=4πr33P = 4πr^2; V = 4πr^3/3
  • ρ=r2-d2ρ = √(r^2 − d^2)

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Koło, potęgi i Pitagoras.

Po tej lekcji

  • Oddziel powierzchnię od wnętrza
  • Odczytaj promień przekroju

Oddziel powierzchnię od wnętrza

Zakres: Podstawowy

Dla promienia r pole sfery to cztery pola koła o tym promieniu. Objętość wynosi 4πr33.4πr^3/3. Po podwojeniu promienia pole rośnie czterokrotnie, objętość ośmiokrotnie.

P=4πr2;V=4πr33P = 4πr^2; V = 4πr^3/3

Wymiary jednostek pomagają odróżnić wzory.

Kiedy stosujemy: r > 0; średnicę przed podstawieniem dzielimy przez 2.

Przykłady zastosowania

  • Dla r = 3: P = 36π, V = 36π.

Źródła: [2].

Odczytaj promień przekroju

Zakres: Podstawowy

Gdy płaszczyzna jest oddalona od środka o d < r, promień kołowego przekroju ρ spełnia ρ2 + d2 = r2. Dla d = 0 otrzymujemy koło wielkie.

ρ=r2-d2ρ = √(r^2 − d^2)

Promień kuli, odległość do płaszczyzny i promień przekroju tworzą trójkąt prostokątny.

Kiedy stosujemy: Dla d = r przekrój jest punktem, dla d > r nie ma przecięcia.

Przykłady zastosowania

  • r = 5, d = 3 → ρ = 4.

Źródła: [2].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Pole

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Oblicz pole sfery o r = 2 cm.

Jak podejść do zadania: Podnieś promień do kwadratu.

  1. r2 = 4.
  2. P = 4π · 4.
  3. P = 16π cm2.

Odpowiedź: 16π cm2.

Sprawdzenie i interpretacja: To cztery pola koła 4π cm2.

Przećwicz ten zakres

2. Objętość

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Oblicz objętość kuli o r = 3 cm.

Jak podejść do zadania: Użyj sześcianu promienia.

  1. 33 = 27.
  2. V = 4π · .
  3. V = 36π cm3.

Odpowiedź: 36π cm3.

Sprawdzenie i interpretacja: Dzielenie 27 przez 3 daje 9, a 4 · 9 = 36.

Przećwicz ten zakres

3. Dane średnicą

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Sfera ma średnicę 10. Oblicz pole.

Jak podejść do zadania: Najpierw promień.

  1. r = 5.
  2. P = 4π · 25.
  3. P = 100π.

Odpowiedź: 100π.

Sprawdzenie i interpretacja: Wzór równoważny P = πd2 daje 100π.

Przećwicz ten zakres

4. Przekrój

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Kula ma r = 5. Płaszczyzna jest odległa od środka o 3. Oblicz pole przekroju.

Jak podejść do zadania: Najpierw promień przekroju.

  1. ρ2 = 25 − 9 = 16.
  2. ρ = 4.
  3. Pole = π · 16.

Odpowiedź: 16π.

Sprawdzenie i interpretacja: Przekrój ma mniejszy promień niż kula.

Przećwicz ten zakres

5. Skala

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Promień kuli zwiększono trzy razy. Jak zmieniają się pole i objętość?

Jak podejść do zadania: Zastosuj kwadrat i sześcian skali.

  1. Pole: 32 = 9 razy.
  2. Objętość: 33 = 27 razy.
  3. Skalujemy wszystkie długości.

Odpowiedź: Pole 9 razy; objętość 27 razy większa.

Sprawdzenie i interpretacja: Podstawienie 3r do wzorów daje te czynniki.

Przećwicz ten zakres

6. Odtwórz promień

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Objętość kuli wynosi 288π. Oblicz r.

Jak podejść do zadania: Wyznacz sześcian promienia.

  1. 4πr33=288π.4πr^3/3 = 288π.
  2. r3 = 216.
  3. r = 6.

Odpowiedź: 6.

Sprawdzenie i interpretacja: 4π · = 288π.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Sfera i kula oznaczają dokładnie ten sam zbiór.

Dlaczego to błąd: Sfera jest brzegiem kuli.

Poprawnie: Wnętrze należy do kuli, ale nie do sfery.

Błędne rozumowanie: Pole sfery to πr2.

Dlaczego to błąd: To pole kołowego przekroju przez środek.

Poprawnie: Pole sfery wynosi 4πr2.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Wymiary jednostek pomagają odróżnić wzory.
  • Promień kuli, odległość do płaszczyzny i promień przekroju tworzą trójkąt prostokątny.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 23.10.2026.

  1. ZPE: Matematyka — liceum i technikum

    Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym

  2. CKE: Stereometria

    Zakres źródła: Rozdział 12: graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe