Matematyka

Podstawowy — szkoła podstawowa

Ułamki

Skracanie i rozszerzanie ułamków

Pomoce naukowe

Ten sam udział można opisać różną liczbą drobniejszych części. Rozszerzanie i skracanie zmieniają licznik oraz mianownik w ten sam sposób, dlatego wartość ułamka pozostaje bez zmiany.

Najważniejsze w skrócie

  • ab=(a·k)(b·k)a/b = (a · k)/(b · k)
  • Skracamy wspólne czynniki, a nie cyfry.

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Dzielniki i mnożenie.

Po tej lekcji

  • Zachowaj wartość udziału
  • Znajdź wspólny dzielnik

Zachowaj wartość udziału

Gdy każdą ćwiartkę podzielisz na trzy równe kawałki, całość ma 12 kawałków, a trzy ćwiartki obejmują 9 kawałków. To uzasadnia = .

ab=(a·k)(b·k)a/b = (a · k)/(b · k)

Liczba części i ich rozmiar zmieniają się równocześnie.

Kiedy stosujemy: b ≠ 0 i k ≠ 0; przy obrazowaniu używamy dodatniego k.

Przykłady zastosowania

  • = .
Rozszerzaj ułamek i obserwuj tę samą zaznaczoną część całości.

Każde koło oznacza taką samą całość. Wybierz ułamek i zmień liczbę równych części. Przy rozszerzaniu zielony obszar pozostaje taki sam. Ułamek większy od 1 zajmuje więcej niż jedno koło.

1/4
1/4

1/4 = (1 · 1)/(4 · 1) = 1/4

Licznik i mianownik mnożymy przez tę samą liczbę niezerową. Zaznaczona część całości pozostaje taka sama.

Źródła: [2].

Znajdź wspólny dzielnik

Skracanie to dzielenie licznika i mianownika przez ten sam niezerowy wspólny dzielnik. Aby skrócić od razu do postaci nieskracalnej, użyj największego wspólnego dzielnika (NWD) licznika i mianownika.

Ułamek nieskracalny ma licznik i mianownik względnie pierwsze. Znak minus można zapisać przed całym ułamkiem, a mianownik przyjąć dodatni.

Skracamy wspólne czynniki, a nie cyfry.

Podział licznika i mianownika przez tę samą liczbę nie zmienia ilorazu.

Kiedy stosujemy: Nie skracamy przez zero ani samych składników sumy.

Przykłady zastosowania

  • = .

Źródła: [2].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Wskazany mianownik

Pytanie lub sytuacja: Rozszerz do mianownika 35.

3/715/35

Każdą siódmą dzielimy na pięć części: 3/7 i 15/35 zajmują ten sam obszar.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Znajdź mnożnik mianownika.

  1. 35 : 7 = 5.
  2. Licznik także mnożymy przez 5.
  3. = .

Odpowiedź: .

Sprawdzenie i interpretacja: 15 : 35 = 3 : 7.

2. Ułamek ujemny

Pytanie lub sytuacja: Rozszerz − do mianownika 20.

-0,8-0,6-0,4-0,20−2/5 = −8/20

Rozszerzenie zmienia podział jednostki, lecz nie położenie ujemnego ułamka.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Pomnóż obie części przez 4.

  1. 20 : 5 = 4.
  2. −2 · 4 = −8.
  3. − = −.

Odpowiedź: −.

Sprawdzenie i interpretacja: Skrócenie przez 4 daje −.

3. Jednym krokiem

Pytanie lub sytuacja: Skróć do postaci nieskracalnej.

18/243/4

Łączymy po sześć dwudziestych czwartych w jedną czwartą: 18/24 = 3/4.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Użyj największego wspólnego dzielnika (NWD) licznika i mianownika.

  1. NWD(18,24) = 6.
  2. 18 : 6 = 3, 24 : 6 = 4.
  3. 3 i 4 nie mają wspólnego dzielnika większego od 1.

Odpowiedź: .

Sprawdzenie i interpretacja: rozszerzone przez 6 daje .

4. Etapami

Pytanie lub sytuacja: Skróć .

42/703/5

Jednakowy obszar zapisano jako 42/70 i 3/5. Jedna piąta zawiera czternaście siedemdziesiątych.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Dziel przez kolejne wspólne czynniki.

  1. Przez 2: = .
  2. Przez 7: = .
  3. 3 i 5 są względnie pierwsze.

Odpowiedź: .

Sprawdzenie i interpretacja: 3 · 14 = 42 i 5 · 14 = 70.

5. Czy trzeba skracać?

Pytanie lub sytuacja: Czy jest nieskracalne?

8/15

Osiem z piętnastu równych części. Liczby 8 i 15 nie mają wspólnego dzielnika większego od 1.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Porównaj czynniki pierwsze.

  1. 8 = 23.
  2. 15 = 3 · 5.
  3. Nie mają wspólnego czynnika pierwszego.

Odpowiedź: Tak, NWD(8,15) = 1.

Sprawdzenie i interpretacja: Żadna z liczb 2, 3, 5 nie dzieli obu jednocześnie.

6. Nie usuwaj cyfr

Pytanie lub sytuacja: Czy można skrócić do przez skreślenie cyfr 2?

12/241/4

12/24 zajmuje połowę całości, a 1/4 tylko jedną czwartą. Skreślenie cyfr nie zachowuje wartości.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Porównaj wartości.

  1. po podzieleniu obu liczb przez 12 daje .
  2. ma inną wartość niż .
  3. Skreślenie cyfry nie jest dzieleniem obu liczb przez wspólny czynnik.

Odpowiedź: Nie; poprawnie = .

Sprawdzenie i interpretacja: 12 · 4 ≠ 24 · 1.

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: = .

Dlaczego to błąd: Skreślono cyfry zamiast dzielić liczby.

Poprawnie: = .

Błędne rozumowanie: = .

Dlaczego to błąd: Zmieniono tylko mianownik.

Poprawnie: = .

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Liczba części i ich rozmiar zmieniają się równocześnie.
  • Podział licznika i mianownika przez tę samą liczbę nie zmienia ilorazu.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 01.11.2026.

  1. ZPE: Matematyka — szkoła podstawowa

    Zakres źródła: Treści nauczania: obliczenia, geometria i rozumowanie

  2. ZPE: Działania na ułamkach zwykłych

    Zakres źródła: Wspólny mianownik, działania i proporcje

  3. ZPE: Obliczanie wartości wyrażeń arytmetycznych

    Zakres źródła: Kolejność działań i działania na liczbach