Matematyka

Podstawowy — szkoła podstawowa

Potęgi i pierwiastki

Potęgi: wykładnik 0, 1 i ujemny

Pomoce naukowe

Rozszerzenie potęgowania na zero i wykładniki ujemne zachowuje zgodność praw dzielenia potęg. Ujemny wykładnik oznacza odwrotność potęgi, a nie zmianę znaku wartości.

Najważniejsze w skrócie

  • a1 = a; a0 = 1 dla a ≠ 0
  • a-n=1ana^(−n) = 1/a^n

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Potęgi dodatnie i odwrotność liczby.

Po tej lekcji

  • Zobacz ciąg malejących wykładników
  • Przejdź do odwrotności

Zobacz ciąg malejących wykładników

53 = 125, 52 = 25 i 51 = 5. Przy każdym zmniejszeniu wykładnika o 1 dzielimy przez 5, więc następny wynik wynosi 1.

Wyrażeniu 00 nie przypisujemy wartości w tych ćwiczeniach. Natomiast 01 = 0 jest zwykłą potęgą o dodatnim wykładniku.

a1 = a; a0 = 1 dla a ≠ 0

Dzielenie a przez siebie daje 1 tylko dla niezerowego a.

Kiedy stosujemy: W potędze zerowej podstawa jest niezerowa.

Przykłady zastosowania

  • (−7)0 = 1.

Źródła: [2].

Przejdź do odwrotności

Kontynuując 51=5i50=1,5^1 = 5 i 5^0 = 1, otrzymujemy 5-1=15.5^(−1) = 1/5. Im bardziej ujemny wykładnik przy podstawie większej od 1, tym mniejsza dodatnia wartość.

a-n=1ana^(−n) = 1/a^n

Odwrotność zachowuje regułę an·a-n=1.a^n · a^(−n) = 1.

Kiedy stosujemy: a ≠ 0; n jest dodatnią naturalną.

Przykłady zastosowania

  • (23)-2=(32)2.(2/3)^(−2) = (3/2)^2.

Źródła: [2].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Pierwsza potęga

Pytanie lub sytuacja: Oblicz (−8)1.

Jak podejść do zadania: Użyj jednego czynnika.

  1. Wykładnik 1 oznacza samą podstawę.
  2. Podstawą jest −8.
  3. Wartość nie zmienia znaku.

Odpowiedź: −8.

Sprawdzenie i interpretacja: Jeden czynnik −8 to nadal −8.

2. Niezerowa podstawa

Pytanie lub sytuacja: Oblicz (37)0.(3/7)^0.

Jak podejść do zadania: Sprawdź warunek podstawy.

  1. ≠ 0.
  2. Potęga zerowa niezerowej liczby wynosi 1.
  3. Nie trzeba obliczać wartości ułamka dziesiętnie.

Odpowiedź: 1.

Sprawdzenie i interpretacja: (37)(37)=1.(3/7)/(3/7) = 1.

3. Odwrotność kwadratu

Pytanie lub sytuacja: Oblicz 2−3.

Jak podejść do zadania: Zmień na odwrotność potęgi.

  1. 2-3=123.2^(−3) = 1/2^3.
  2. 23 = 8.
  3. Wynik to .

Odpowiedź: .

Sprawdzenie i interpretacja: · 8 = 1.

4. Odwrotność ułamka

Pytanie lub sytuacja: Oblicz (23)-2.(2/3)^(−2).

Jak podejść do zadania: Odwróć podstawę i zmień wykładnik na dodatni.

  1. Odwrotność to .
  2. (32)2=94.(3/2)^2 = 9/4.
  3. Wynik jest dodatni.

Odpowiedź: .

Sprawdzenie i interpretacja: (23)2·94=49·94=1.(2/3)^2 · 9/4 = 4/9 · 9/4 = 1.

5. Minus w podstawie

Pytanie lub sytuacja: Oblicz (−2)−3.

Jak podejść do zadania: Najpierw zapisz odwrotność.

  1. (-2)-3=1(-2)3.(−2)^(−3) = 1/(−2)^3.
  2. (−2)3 = −8.
  3. 1(-8)=-18.1/(−8) = −1/8.

Odpowiedź: −.

Sprawdzenie i interpretacja: − · (−8) = 1.

6. Zerowa podstawa

Pytanie lub sytuacja: Czy 0−2 ma wartość?

Jak podejść do zadania: Użyj definicji ujemnego wykładnika.

  1. 0-20^(−2) wymagałoby 102.1/0^2.
  2. 02 = 0.
  3. Dzielenie przez 0 jest niedozwolone.

Odpowiedź: Nie.

Sprawdzenie i interpretacja: Nie istnieje odwrotność zera.

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: 2−3 = −8.

Dlaczego to błąd: Ujemny wykładnik zmienia na odwrotność, nie na liczbę przeciwną.

Poprawnie: 2-3=18.2^(−3) = 1/8.

Błędne rozumowanie: 00 = 1 bez warunków.

Dlaczego to błąd: Reguła potęgi zerowej wymaga niezerowej podstawy.

Poprawnie: W tych zadaniach 00 pozostaje nieokreślone.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Dzielenie a przez siebie daje 1 tylko dla niezerowego a.
  • Odwrotność zachowuje regułę an·a-n=1.a^n · a^(−n) = 1.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 23.10.2026.

  1. ZPE: Matematyka — szkoła podstawowa

    Zakres źródła: Treści nauczania: obliczenia, geometria i rozumowanie

  2. ZPE: Działania na potęgach i pierwiastkach

    Zakres źródła: Definicje i warunki praw działań