Matematyka

Podstawowy — szkoła podstawowa

Geometria płaska

Pola figur

Pomoce naukowe

Pole mierzy wielkość powierzchni. Wzory można zrozumieć przez przestawianie i dzielenie figur: trójkąt jest połową odpowiedniego równoległoboku, a trapez połową figury złożonej z dwóch takich trapezów.

Najważniejsze w skrócie

  • P prostokąta = ab; P równoległoboku = ah; P trójkąta = ah/2/2
  • P trapezu =(a+b)h2;P= (a + b)h/2; P rombu = ef/2/2

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Mnożenie, prostopadłość i jednostki kwadratowe.

Po tej lekcji

  • Wybierz podstawę i odpowiednią wysokość
  • Rozłóż lub uzupełnij figurę

Wybierz podstawę i odpowiednią wysokość

Wysokość jest prostopadła do wybranej podstawy lub jej przedłużenia. Bok skośny nie jest zwykle wysokością. Pole równoległoboku a · h nie zależy od jego pochylenia przy stałych a i h.

P prostokąta = ab; P równoległoboku = ah; P trójkąta = ah/2/2

Dwa przystające trójkąty mogą utworzyć równoległobok o tej samej podstawie i wysokości.

Kiedy stosujemy: a i h muszą dotyczyć tej samej podstawy.

Przykłady zastosowania

  • Trójkąt a = 8, h = 5 ma pole 20.
Wskaż podstawę, wysokość i bok skośny. Zwróć uwagę, które odcinki są prostopadłe.

Wybieraj elementy rysunku i poznawaj ich własności. To swobodna powtórka bez ocen.

8 cmh = 4 cmh
Powiększenie i przesuwanie

Plus i minus zmieniają powiększenie. Strzałki przesuwają powiększoną grafikę, Home przywraca całość. Możesz użyć przycisków lub klawiatury po ustawieniu fokusu na grafice.

Opis i oznaczenia

Czworokąt z równoległymi podstawami oraz zaznaczoną podstawą i wysokością

  • 8 cm
  • h = 4 cm
  • h
Wybierz element

Nie zaznaczono żadnego elementu.

Pomoc do wyboru

Wskaż element na rysunku lub wybierz jego przycisk, aby przeczytać opis.

Wybierz element, aby przeczytać jego opis.

aabb

Obwód sumuje cztery boki,pole mierzy wnętrze: O=2a+2b,P=ab.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Źródła: [1] [2] [3].

Rozłóż lub uzupełnij figurę

Pole trapezu wykorzystuje obie równoległe podstawy i odległość między nimi. Pole rombu można obliczyć jako połowę iloczynu przekątnych. W figurze złożonej dodaj pola rozłącznych części albo odejmij wycięcie.

P trapezu =(a+b)h2;P= (a + b)h/2; P rombu = ef/2/2

Wzory wynikają z podziału na trójkąty; nie dodajemy nakładających się pól.

Kiedy stosujemy: Wzór ef/2/2 wykorzystuje prostopadłe przekątne rombu.

Przykłady zastosowania

  • Trapez a = 8, b = 4, h = 3 ma pole 18.

Źródła: [1] [2] [3].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Prostokąt

Pytanie lub sytuacja: Oblicz pole prostokąta 7 cm na 4 cm.

7 cm4 cm

Dwa prostopadłe boki mają 7 cm i 4 cm. Szukamy pola wnętrza.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Pomnóż prostopadłe boki.

  1. P = 7 · 4.
  2. P = 28.
  3. Jednostka to cm2.

Odpowiedź: 28 cm2.

Sprawdzenie i interpretacja: Można ułożyć 4 rzędy po 7 kwadratów jednostkowych.

2. Równoległobok

Pytanie lub sytuacja: Podstawa ma 9 cm, odpowiadająca wysokość 4 cm. Oblicz pole.

9 cmh = 4 cmh

Podstawa ma 9 cm. Kreskowana wysokość h ma 4 cm i jest prostopadła do tej podstawy.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Użyj podstawy i prostopadłej wysokości.

  1. P = ah.
  2. 9 · 4 = 36.
  3. Nie potrzebujemy długości skośnego boku.

Odpowiedź: 36 cm2.

Sprawdzenie i interpretacja: Przestawienie narożnego trójkąta daje prostokąt 9 na 4.

3. Trójkąt

Pytanie lub sytuacja: Trójkąt ma podstawę 8 cm i wysokość 5 cm. Oblicz pole.

8 cmh = 5 cmh

Podstawa ma 8 cm, prostopadła wysokość h ma 5 cm. Szukamy pola trójkąta.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Podziel iloczyn przez 2.

  1. 8 · 5 = 40.
  2. Trójkąt zajmuje połowę odpowiedniego równoległoboku.
  3. 40 : 2 = 20.

Odpowiedź: 20 cm2.

Sprawdzenie i interpretacja: Dwa takie trójkąty mają pole 40 cm2.

4. Trapez

Pytanie lub sytuacja: Podstawy trapezu mają 8 i 4 cm, wysokość 3 cm. Oblicz pole.

8 cm4 cmh = 3 cmh

Równoległe podstawy mają 8 cm i 4 cm. Wysokość h ma 3 cm.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Użyj sumy podstaw.

  1. 8 + 4 = 12.
  2. 12 · 3 = 36.
  3. 36 : 2 = 18.

Odpowiedź: 18 cm2.

Sprawdzenie i interpretacja: Średnia długość podstaw 6 cm razy wysokość 3 cm daje 18.

5. Romb

Pytanie lub sytuacja: Przekątne rombu mają 6 i 10 cm. Oblicz pole.

d = 6 cme = 10 cmde

Przekątne d i e mają 6 cm i 10 cm; przecinają się pod kątem prostym.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Weź połowę iloczynu przekątnych.

  1. 6 · 10 = 60.
  2. 60 : 2 = 30.
  3. Pole podajemy w cm2.

Odpowiedź: 30 cm2.

Sprawdzenie i interpretacja: Cztery trójkąty mają łącznie połowę pola prostokąta 6 na 10.

6. Prostokąt z wycięciem

Pytanie lub sytuacja: Z prostokąta 8 cm na 6 cm wycięto kwadrat 2 cm na 2 cm. Ile wynosi pozostałe pole?

8 cm6 cm2 cm2 cm

Wycięcie pokazano przykładowo w rogu. Jego położenie nie zmienia odejmowanego pola.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Odejmij pole wycięcia.

  1. Pole całe: 8 · 6 = 48 cm2.
  2. Pole wycięcia: 2 · 2 = 4 cm2.
  3. 48 − 4 = 44 cm2.

Odpowiedź: 44 cm2.

Sprawdzenie i interpretacja: 44 + 4 = 48.

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Pole trójkąta to ah.

Dlaczego to błąd: Pominięto dzielenie przez 2.

Poprawnie: P = ah/2./2.

Błędne rozumowanie: Pole równoległoboku to iloczyn dwóch dowolnych boków.

Dlaczego to błąd: Skośny bok nie zastępuje wysokości.

Poprawnie: Wybierz prostopadłą wysokość do podstawy.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Dwa przystające trójkąty mogą utworzyć równoległobok o tej samej podstawie i wysokości.
  • Wzory wynikają z podziału na trójkąty; nie dodajemy nakładających się pól.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 01.11.2026.

  1. ZPE: Matematyka — szkoła podstawowa

    Zakres źródła: Treści nauczania: obliczenia, geometria i rozumowanie

  2. ZPE: Pojęcia,definicje i wzory związane z geometrią

    Zakres źródła: Kąty,odległości,figury płaskie i graniastosłupy

  3. CKE: Wybrane wzory matematyczne

    Zakres źródła: Rozdziały10–12: planimetria,współrzędne i stereometria