Matematyka

Podstawowy — szkoła podstawowa

Geometria przestrzenna

Objętości brył

Pomoce naukowe

Objętość mierzy przestrzeń zajmowaną przez bryłę. Warstwy o takim samym polu podstawy prowadzą do wzoru Pp · H dla graniastosłupa. Ostrosłup o tej samej podstawie i wysokości zajmuje jedną trzecią tej objętości.

Najważniejsze w skrócie

  • V graniastosłupa = Pp · H; prostopadłościanu V = abc
  • V ostrosłupa = PpH/3;/3; skala objętości =k3= k^3

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Pola i jednostki sześcienne.

Po tej lekcji

  • Policz warstwy
  • Zastosuj jedną trzecią

Policz warstwy

Prostopadłościan o wymiarach a,b,H mieści a · b jednostkowych kostek w warstwie i H warstw przy całkowitych długościach jednostkowych. Ten sam wzór rozszerzamy na dodatnie długości.

V graniastosłupa = Pp · H; prostopadłościanu V = abc

Wysokość to odległość między płaszczyznami podstaw.

Kiedy stosujemy: Nie zastępuj wysokości ukośną krawędzią.

Przykłady zastosowania

  • Sześcian: V = a3.
abH

Schemat przestrzenny nie zachowuje kątów perspektywy. Dla tej bryły V=abH,Pc=2(ab+aH+bH).

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Rozróżnij wysokość bryły i wysokość jej ściany bocznej.

Wybieraj elementy rysunku i poznawaj ich własności. To swobodna powtórka bez ocen.

Hℓ
Powiększenie i przesuwanie

Plus i minus zmieniają powiększenie. Strzałki przesuwają powiększoną grafikę, Home przywraca całość. Możesz użyć przycisków lub klawiatury po ustawieniu fokusu na grafice.

Opis i oznaczenia

Ostrosłup z wielokątną podstawą

  • H
  • ℓ
Wybierz element

Nie zaznaczono żadnego elementu.

Pomoc do wyboru

Wskaż element lub wybierz go z listy, aby przeczytać opis. To eksploracja bez oceny.

Wybierz element, aby przeczytać jego opis.

Źródła: [1] [2].

Zastosuj jedną trzecią

Ostrosłup z daną podstawą i wysokością ma objętość PpH/3./3. Po powiększeniu wszystkich długości k razy pole rośnie k2k^2 razy, a wysokość k razy, więc objętość rośnie k3k^3 razy.

V ostrosłupa = PpH/3;/3; skala objętości =k3= k^3

Mnożymy trzy skalowane wymiary.

Kiedy stosujemy: Objętość ma jednostkę sześcienną.

Przykłady zastosowania

  • Podwojenie długości daje osiem razy większą objętość.

Źródła: [1] [2].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Trzy wymiary

Pytanie lub sytuacja: Oblicz objętość prostopadłościanu 2 × 3 × 5 cm.

2 cm3 cm5 cm

Wymiary to 2 cm, 3 cm i 5 cm. Linie na powierzchni pokazują podział na jednostkowe kostki i kolejne warstwy.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Pomnóż wymiary.

  1. Pole podstawy: 2 · 3 = 6 cm2.
  2. V = 6 · 5.
  3. V = 30 cm3.

Odpowiedź: 30 cm3.

Sprawdzenie i interpretacja: Pięć warstw po 6 cm3 daje 30.

2. Sześcian

Pytanie lub sytuacja: Oblicz objętość sześcianu o krawędzi 4 cm.

4 cm4 cm4 cm

Krawędź sześcianu ma 4 cm. Podział powierzchni pokazuje rozmiar jednostkowych kostek w kolejnych warstwach.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Podnieś krawędź do sześcianu.

  1. V = 43.
  2. 4 · 4 = 16.
  3. 16 · 4 = 64.

Odpowiedź: 64 cm3.

Sprawdzenie i interpretacja: Cztery warstwy po 16 jednostkowych kostek.

3. Dowolna podstawa

Pytanie lub sytuacja: Pole podstawy graniastosłupa wynosi 18 cm2, a wysokość 7 cm. Oblicz objętość.

HH = 7 cmPp = 18 cm²

Przykładowa podstawa ma pole 18 cm². Dane nie wyznaczają jej kształtu; do objętości wykorzystujemy podane pole i wysokość.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Pomnóż pole przez wysokość.

  1. V = PpH.
  2. 18 · 7 = 126.
  3. Jednostka cm2 · cm daje cm3.

Odpowiedź: 126 cm3.

Sprawdzenie i interpretacja: 126 : 7 = 18 cm2.

4. Jedna trzecia

Pytanie lub sytuacja: Ostrosłup ma pole podstawy 24 cm2 i wysokość 9 cm. Oblicz objętość.

HH = 9 cmPp = 24 cm²

Pokazano przykładową podstawę o podanym polu 24 cm². H = 9 cm jest prostopadłą wysokością całej bryły.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Podziel iloczyn przez 3.

  1. 24 · 9 = 216.
  2. V = .
  3. V = 72 cm3.

Odpowiedź: 72 cm3.

Sprawdzenie i interpretacja: Trzy takie objętości dają 216 cm3 odpowiedniego graniastosłupa.

5. Odtwórz wysokość

Pytanie lub sytuacja: Graniastosłup ma objętość 150 cm3 i pole podstawy 25 cm2. Oblicz wysokość.

HPp = 25 cm²

Objętość wynosi 150 cm³, pole podstawy 25 cm². Wysokość H jest niewiadomą; nie podano jej wartości na rysunku.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Podziel objętość przez pole.

  1. 150 = 25H.
  2. H = .
  3. H = 6 cm.

Odpowiedź: 6 cm.

Sprawdzenie i interpretacja: 25 · 6 = 150.

6. Powiększenie

Pytanie lub sytuacja: Każdy wymiar bryły zwiększono 3 razy. Ile razy wzrosła objętość?

a3a

Każdy wymiar zwiększono trzykrotnie: a → 3a. Figury pozostają we wspólnej skali; porównaj przestrzeń zajmowaną przez bryły.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Pomnóż trzy współczynniki.

  1. Długość, szerokość i wysokość rosną po 3 razy.
  2. Łącznie 3 · 3 · 3 = 27.
  3. Objętość rośnie 27 razy.

Odpowiedź: 27 razy.

Sprawdzenie i interpretacja: Sześcian o krawędzi 1 ma V = 1, o krawędzi 3 ma V = 27.

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Objętość ostrosłupa to PpH.

Dlaczego to błąd: Pominięto dzielenie przez 3.

Poprawnie: V = PpH/3.

Błędne rozumowanie: Objętość 30 cm2.

Dlaczego to błąd: Objętość wymaga trzech wymiarów jednostki.

Poprawnie: 30 cm3.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Wysokość to odległość między płaszczyznami podstaw.
  • Mnożymy trzy skalowane wymiary.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 01.11.2026.

  1. ZPE: Matematyka — szkoła podstawowa

    Zakres źródła: Treści nauczania: obliczenia, geometria i rozumowanie

  2. CKE: Wybrane wzory matematyczne

    Zakres źródła: Rozdziały10–12: planimetria,współrzędne i stereometria