Matematyka

Podstawowy — szkoła podstawowa

Ułamki

Mnożenie i dzielenie ułamków

Pomoce naukowe

Mnożenie przez ułamek może oznaczać branie części z części. Dzielenie pyta, ile razy jeden ułamek mieści się w drugim. Odwrotność dzielnika zamienia to pytanie na mnożenie.

Najważniejsze w skrócie

  • (ab)·(cd)=(a/b) · (c/d) = ac//bd
  • (ab):(cd)=(ab)·(dc)(a/b) : (c/d) = (a/b) · (d/c)

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Skracanie ułamków i reguły znaków.

Po tej lekcji

  • Weź część z części
  • Pomnóż przez odwrotność dzielnika

Weź część z części

Połowa z trzech czwartych to trzy ósme. Dla ułamków mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik. W iloczynie wolno wcześniej skrócić wspólne czynniki licznika i mianownika.

(ab)·(cd)=(a/b) · (c/d) = ac//bd

Podwójny podział całości daje bd jednakowych części.

Kiedy stosujemy: b ≠ 0 i d ≠ 0; skracamy czynniki, nie składniki sum.

Przykłady zastosowania

  • · = .
Zaznaczaj części tej samej całości

Wybieraj elementy rysunku i poznawaj ich własności. To swobodna powtórka bez ocen.

Całość 1
Powiększenie i przesuwanie

Plus i minus zmieniają powiększenie. Strzałki przesuwają powiększoną grafikę, Home przywraca całość. Możesz użyć przycisków lub klawiatury po ustawieniu fokusu na grafice.

Opis i oznaczenia

Zaznaczaj części tej samej całości

  • Całość 1
Wybierz elementy (1–4 z 8)

Wybrano 0 elementów. Puste zaznaczenie też jest odpowiedzią.

Pomoc do wyboru

Dotknij elementu na rysunku lub wybierz go z listy. Poniżej znajdziesz objaśnienie zaznaczenia.

Wybrana ilość: 0

Wybierz element, aby przeczytać jego opis.

Źródła: [2].

Pomnóż przez odwrotność dzielnika

Odwrotnością niezerowej liczby aba/b jest ba.b/a. Zmieniamy tylko dzielnik na jego odwrotność, a pierwszy ułamek pozostawiamy. Liczby mieszane przed mnożeniem lub dzieleniem zamieniamy na niewłaściwe.

(ab):(cd)=(ab)·(dc)(a/b) : (c/d) = (a/b) · (d/c)

Pomnożenie przez odwrotność cofa mnożenie przez dzielnik.

Kiedy stosujemy: b, c i d są niezerowe; dzielnik cdc/d nie może być zerem.

Przykłady zastosowania

  • : = .

Źródła: [2].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Część części

Pytanie lub sytuacja: Oblicz · .

3/41/2 z 3/4

Jedną całość podzielono na osiem części. Trzy czwarte to sześć komórek; połowa tego obszaru zajmuje trzy komórki, czyli 3/8.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Pomnóż liczniki i mianowniki.

  1. Licznik: 1 · 3 = 3.
  2. Mianownik: 2 · 4 = 8.
  3. Otrzymujemy .

Odpowiedź: .

Sprawdzenie i interpretacja: Dwie takie połowy dają = .

2. Skracanie przed mnożeniem

Pytanie lub sytuacja: Oblicz · .

9/102/3 z 9/10

Dwie z trzech równych grup dziewięciu dziesiątych to sześć dziesiątych.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Usuń wspólne czynniki.

  1. 2 i 10 dzielimy przez 2: zostają 1 i 5.
  2. 9 i 3 dzielimy przez 3: zostają 3 i 1.
  3. Iloczyn to 1·3(1·5)=35.1 · 3/(1 · 5) = 3/5.

Odpowiedź: .

Sprawdzenie i interpretacja: skrócone przez 6 też daje .

3. Ile połówek?

Pytanie lub sytuacja: Oblicz : .

3/41/2

W 3/4 mieści się jedna pełna grupa po 1/2 oraz połowa takiej grupy.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Odwróć dzielnik.

  1. Odwrotność to 2.
  2. · 2 = .
  3. Skracamy do .

Odpowiedź: = 1,5.

Sprawdzenie i interpretacja: · = .

4. Ze znakiem minus

Pytanie lub sytuacja: Oblicz − : .

-2-1,5-1-0,50−3/4−3/2

Podzielenie −3/4 przez dodatnie 1/2 daje wynik ujemny, dwa razy dalej od zera.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Odwróć dzielnik i ustal znak.

  1. Różne znaki oznaczają wynik ujemny.
  2. − · = −.
  3. Skracamy do −.

Odpowiedź: −.

Sprawdzenie i interpretacja: − · = −.

5. Najpierw zmień zapis

Pytanie lub sytuacja: Oblicz 1 i · .

1 i 1/22/3 z 3/2

Trzy połówki podzielono na trzy równe grupy. Dwie grupy zawierają dwie połówki, czyli całość.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Zamień liczbę mieszaną na niewłaściwą.

  1. 1 i = .
  2. · = .
  3. Otrzymujemy 1.

Odpowiedź: 1.

Sprawdzenie i interpretacja: Dwie trzecie z półtorej całości to jedna całość.

6. Zerowy dzielnik

Pytanie lub sytuacja: Czy można obliczyć : ?

2/50/7

Dzielna 2/5 jest niezerowa, a dzielnik 0/7 nie zawiera żadnej części. Nie można utworzyć grup wielkości zero.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Sprawdź wartość dzielnika.

  1. = 0.
  2. Dzielenie przez 0 nie jest określone.
  3. Nie istnieje odwrotność zera.

Odpowiedź: Nie; działanie jest niedozwolone.

Sprawdzenie i interpretacja: Żadna liczba pomnożona przez 0 nie daje .

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: : = · .

Dlaczego to błąd: Odwrócono także pierwszy ułamek.

Poprawnie: · = .

Błędne rozumowanie: 1 i · = 1 i .

Dlaczego to błąd: Liczbę mieszaną błędnie potraktowano jak oddzielny zapis działania.

Poprawnie: · = 1.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Podwójny podział całości daje bd jednakowych części.
  • Pomnożenie przez odwrotność cofa mnożenie przez dzielnik.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 01.11.2026.

  1. ZPE: Matematyka — szkoła podstawowa

    Zakres źródła: Treści nauczania: obliczenia, geometria i rozumowanie

  2. ZPE: Działania na ułamkach zwykłych

    Zakres źródła: Wspólny mianownik, działania i proporcje

  3. ZPE: Obliczanie wartości wyrażeń arytmetycznych

    Zakres źródła: Kolejność działań i działania na liczbach