Matematyka

Podstawowy — szkoła podstawowa

Geometria płaska

Koło i okrąg

Pomoce naukowe

Okrąg jest brzegiem, a koło obejmuje także wnętrze. Promień łączy środek z punktem okręgu, a średnica przechodzi przez środek i łączy dwa punkty okręgu. Wzory na długość i pole opisują różne wielkości.

Najważniejsze w skrócie

  • d = 2r
  • L = 2πr = πd; P = πr2

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Obwód, pole i potęgi.

Po tej lekcji

  • Rozróżnij brzeg i wnętrze
  • Dobierz wzór do pytania

Rozróżnij brzeg i wnętrze

Średnica składa się z dwóch promieni. Każdy punkt okręgu jest oddalony od środka dokładnie o r, a punkt koła najwyżej o r. Cięciwa nie musi przechodzić przez środek.

d = 2r

Środek jest środkiem odcinka średnicy.

Kiedy stosujemy: r > 0 dla niedegenerowanego koła.

Przykłady zastosowania

  • Dla d = 10 cm promień to 5 cm.
Ord = 2r

Okrąg o środku O z promieniem r i średnicą d przechodzącą przez środek.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Wskaż odcinki i brzeg, aby porównać promień, średnicę, okrąg oraz koło.

Wybieraj elementy rysunku i poznawaj ich własności. To swobodna powtórka bez ocen.

OAB
Powiększenie i przesuwanie

Plus i minus zmieniają powiększenie. Strzałki przesuwają powiększoną grafikę, Home przywraca całość. Możesz użyć przycisków lub klawiatury po ustawieniu fokusu na grafice.

Opis i oznaczenia

Okrąg oraz dwa odcinki przechodzące przez punkt O

  • O
  • A
  • B
Wybierz element

Nie zaznaczono żadnego elementu.

Pomoc do wyboru

Wskaż element na rysunku lub wybierz jego przycisk, aby przeczytać opis.

Wybierz element, aby przeczytać jego opis.

Źródła: [1] [2].

Dobierz wzór do pytania

Długość okręgu podajemy w cm, m i innych jednostkach długości. Pole koła wymaga jednostek kwadratowych. Jeśli nie prosimy o przybliżenie, pozostaw π w wyniku.

L = 2πr = πd; P = πr2

Długość rośnie proporcjonalnie do promienia, pole do jego kwadratu.

Kiedy stosujemy: π nie zastępujemy przez 3,14 bez polecenia przybliżenia.

Przykłady zastosowania

  • Dla r = 3: L = 6π, P = 9π.

Źródła: [1] [2].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Ze średnicy na promień

Pytanie lub sytuacja: Koło ma średnicę 14 cm. Oblicz promień.

Ord = 14 cm

Średnica d ma 14 cm. Szukany promień oznaczono r.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Podziel średnicę przez 2.

  1. d = 2r.
  2. r = 14 : 2.
  3. r = 7 cm.

Odpowiedź: 7 cm.

Sprawdzenie i interpretacja: 2 · 7 = 14 cm.

2. Długość brzegu

Pytanie lub sytuacja: Oblicz długość okręgu o promieniu 4 cm.

r = 4 cmO

Promień ma 4 cm. Szukamy długości samego brzegu.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Użyj 2πr.

  1. r = 4 cm.
  2. L = 2π · 4.
  3. Wynik ma jednostkę długości.

Odpowiedź: 8π cm.

Sprawdzenie i interpretacja: Średnica 8 cm daje πd = 8π cm.

3. Pole wnętrza

Pytanie lub sytuacja: Oblicz pole koła o promieniu 4 cm.

r = 4 cmO

Promień ma 4 cm. Szukamy pola zaznaczonego wnętrza.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Podnieś promień do kwadratu.

  1. r2 = 16 cm2.
  2. P = π · 16.
  3. Zostawiamy wynik dokładny.

Odpowiedź: 16π cm2.

Sprawdzenie i interpretacja: Kwadrat o boku 8 cm ma pole 64 cm2, większe od 16π cm2.

4. Dane średnicą

Pytanie lub sytuacja: Oblicz pole koła o średnicy 10 m.

Ord = 10 m

Średnica d ma 10 m. Najpierw wyznacz promień r, potem pole koła.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Najpierw wyznacz promień.

  1. r = = 5 m.
  2. P = π · 52.
  3. P = 25π m2.

Odpowiedź: 25π m2.

Sprawdzenie i interpretacja: Użycie średnicy jako promienia dałoby błędny wynik cztery razy większy.

5. Dwa razy większy promień

Pytanie lub sytuacja: Jak zmieniają się długość i pole po podwojeniu promienia?

r2r

Po prawej promień jest dwa razy większy. Porównaj zmianę długości brzegu ze zmianą pola wnętrza.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Podstaw 2r do obu wzorów.

  1. L nowego = 2π · 2r = 2L.
  2. P nowego = π(2r)2 = 4P.
  3. Zmiany długości i pola są różne.

Odpowiedź: Długość 2 razy, pole 4 razy większe.

Sprawdzenie i interpretacja: Dla r = 1 i r = 2 pola to π i 4π.

6. Połowa pola

Pytanie lub sytuacja: Oblicz pole półkola o promieniu 6 cm.

rOr = 6 cm

Zaznaczono połowę koła. Promień r ma 6 cm.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Podziel pole całego koła przez 2.

  1. P koła = π · 62 = 36π cm2.
  2. Półkole stanowi połowę wnętrza.
  3. 36π : 2 = 18π.

Odpowiedź: 18π cm2.

Sprawdzenie i interpretacja: Dwa takie półkola tworzą koło o polu 36π.

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Przy średnicy 10 cm pole wynosi 100π cm2.

Dlaczego to błąd: Średnicę podstawiono zamiast promienia.

Poprawnie: Promień 5 cm, pole 25π cm2.

Błędne rozumowanie: Obwód koła ma jednostkę cm2.

Dlaczego to błąd: Obwód jest długością.

Poprawnie: Długość podaj w cm; pole w cm2.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Środek jest środkiem odcinka średnicy.
  • Długość rośnie proporcjonalnie do promienia, pole do jego kwadratu.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 01.11.2026.

  1. ZPE: Matematyka — szkoła podstawowa

    Zakres źródła: Treści nauczania: obliczenia, geometria i rozumowanie

  2. CKE: Wybrane wzory matematyczne

    Zakres źródła: Rozdziały10–12: planimetria,współrzędne i stereometria