Matematyka

Podstawowy — szkoła podstawowa

Układ współrzędnych

Geometria w układzie współrzędnych

Pomoce naukowe

Współrzędne zamieniają rysunek na dane liczbowe. Dla odcinków równoległych do osi długość jest wartością bezwzględną różnicy odpowiednich współrzędnych. Prostokąty i trójkąty można potem badać znanymi wzorami.

Najważniejsze w skrócie

  • Poziomo: |x₂ − x₁|; pionowo: |y₂ − y₁|
  • Prostokąt: O = 2(a + b), P = ab; trójkąt: P = ah/2/2

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Odczyt punktów i pola figur.

Po tej lekcji

  • Wybierz współrzędną, która się zmienia
  • Policz boki, potem figurę

Wybierz współrzędną, która się zmienia

Poziomy odcinek ma jednakowe y na końcach, pionowy jednakowe x. Jego długość nie może być ujemna. Środek odcinka obliczamy jako średnie współrzędnych końców.

Poziomo: |x₂ − x₁|; pionowo: |y₂ − y₁|

Różnica opisuje przesunięcie, a moduł jego długość.

Kiedy stosujemy: Wzory te dotyczą odcinków równoległych do odpowiedniej osi.

Przykłady zastosowania

  • Od x = −3 do x = 4 jest 7 jednostek.
Porównaj odcinek poziomy, pionowy i przekątną w tym samym układzie.

Wybieraj elementy rysunku i poznawaj ich własności. To swobodna powtórka bez ocen.

-4-4-2-22244xyABCD
Powiększenie i przesuwanie

Plus i minus zmieniają powiększenie. Strzałki przesuwają powiększoną grafikę, Home przywraca całość. Możesz użyć przycisków lub klawiatury po ustawieniu fokusu na grafice.

Opis i oznaczenia

Układ współrzędnych z jednakową jednostką na obu osiach

  • -4
  • -4
  • -2
  • -2
  • 2
  • 2
  • 4
  • 4
  • x
  • y
  • A
  • B
  • C
  • D
Wybierz element

Nie zaznaczono żadnego elementu.

Pomoc do wyboru

Wskaż element lub wybierz go z listy, aby przeczytać opis. To eksploracja bez oceny.

Wybierz element, aby przeczytać jego opis.

Źródła: [1] [2].

Policz boki, potem figurę

Dla prostokąta o bokach równoległych do osi wyznacz dwie różnice współrzędnych. Dla trójkąta z poziomą podstawą wysokość jest pionową odległością trzeciego wierzchołka od prostej podstawy.

Prostokąt: O = 2(a + b), P = ab; trójkąt: P = ah/2/2

Rysunek współrzędnych dostarcza długości, ale wzory geometryczne pozostają te same.

Kiedy stosujemy: Jednostka pola jest kwadratem jednostki osi.

Przykłady zastosowania

  • Szerokość 5 i wysokość 3 daje pole 15.
0xy-3-3-2-2-1-111223344ABCD
Powiększenie i przesuwanie

Plus i minus zmieniają powiększenie. Strzałki przesuwają powiększoną grafikę, Home przywraca całość. Możesz użyć przycisków lub klawiatury po ustawieniu fokusu na grafice.

Opis i oznaczenia

Prostokąt o wierzchołkach A(−2,−1),B(3,−1),C(3,2),D(−2,2),szerokości5 i wysokości3.

  • A: (-2; -1)
  • B: (3; -1)
  • C: (3; 2)
  • D: (-2; 2)

Przesuń rysunek w poziomie, aby odczytać wszystkie podpisy.

Źródła: [1] [2].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Poziomy odcinek

Pytanie lub sytuacja: A = (−3,2), B = (4,2). Oblicz AB.

-4-4-22244xyAB

Dane końce to A = (−3, 2) i B = (4, 2). Długości AB nie wpisano na odcinku.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Odejmij współrzędne x.

  1. Wspólne y = 2 potwierdza poziomy odcinek.
  2. AB = |4 − (−3)|.
  3. AB = 7.

Odpowiedź: 7 jednostek.

Sprawdzenie i interpretacja: Od −3 do 0 są 3, od 0 do 4 są 4; razem 7.

2. Pionowy odcinek

Pytanie lub sytuacja: A = (5,−4), B = (5,3). Oblicz AB.

-6-6-4-4-2224466xyAB

A = (5, −4), B = (5, 3). Obliczamy długość pionowego odcinka.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Odejmij współrzędne y.

  1. x są równe.
  2. AB = |3 − (−4)|.
  3. AB = 7.

Odpowiedź: 7 jednostek.

Sprawdzenie i interpretacja: Cztery do zera i trzy dalej daje siedem.

3. Prostokąt

Pytanie lub sytuacja: Wierzchołki prostokąta to (−2,−1),(3,−1),(3,2),(−2,2). Oblicz obwód.

-4-4-2-22244xyABCD

Podano współrzędne wierzchołków prostokąta. Obwód obejmuje cztery boki; ich obliczonych długości nie dopisano.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Wyznacz szerokość i wysokość.

  1. Szerokość: 3 − (−2) = 5.
  2. Wysokość: 2 − (−1) = 3.
  3. O = 2(5 + 3) = 16.

Odpowiedź: 16 jednostek.

Sprawdzenie i interpretacja: Suma kolejnych boków 5 + 3 + 5 + 3 = 16.

4. Pole prostokąta

Pytanie lub sytuacja: Dla prostokąta o rogach (−2,−1) i (3,2) oraz bokach równoległych do osi oblicz pole.

-4-4-2-22244xyABCD

Prostokąt ma przeciwległe rogi (−2, −1) i (3, 2), a boki równoległe do osi.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Pomnóż różnice współrzędnych.

  1. Szerokość wynosi 5.
  2. Wysokość wynosi 3.
  3. P = 5 · 3 = 15.

Odpowiedź: 15 jednostek kwadratowych.

Sprawdzenie i interpretacja: Siatka obejmuje 5 kolumn po 3 kwadraty.

5. Pole trójkąta

Pytanie lub sytuacja: A = (0,0), B = (6,0), C = (2,4). Oblicz pole trójkąta.

A (0, 0)B (6, 0)C (2, 4)xyh

Wierzchołki mają dokładnie współrzędne z zadania. Kreskowana wysokość biegnie od C do punktu (2, 0).

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Wybierz podstawę na osi X.

  1. AB = 6.
  2. Wysokość od C do osi X wynosi 4.
  3. P = 6 · = 12.

Odpowiedź: 12 jednostek kwadratowych.

Sprawdzenie i interpretacja: Odpowiedni równoległobok miałby pole 24.

6. Środek

Pytanie lub sytuacja: Znajdź środek odcinka od (−4,2) do (6,8).

-9-9-6-6-3336699xyAB

Podane końce to (−4, 2) i (6, 8). Szukany środek odcinka pozostaje nieoznaczony.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Oblicz średnie współrzędnych.

  1. x środka =(-4+6)2=1.= (−4 + 6)/2 = 1.
  2. y środka =(2+8)2=5.= (2 + 8)/2 = 5.
  3. Środek to (1,5).

Odpowiedź: (1,5).

Sprawdzenie i interpretacja: Przesunięcia od końców do środka mają przeciwne znaki: (5,3) i (−5,−3).

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Długość od x = 4 do x = −3 wynosi −7.

Dlaczego to błąd: Długość jest nieujemna.

Poprawnie: |−3 − 4| = 7.

Błędne rozumowanie: Pole trójkąta z podstawą 6 i wysokością 4 to 24.

Dlaczego to błąd: Pominięto połowę.

Poprawnie: 12 jednostek kwadratowych.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Różnica opisuje przesunięcie, a moduł jego długość.
  • Rysunek współrzędnych dostarcza długości, ale wzory geometryczne pozostają te same.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 01.11.2026.

  1. ZPE: Matematyka — szkoła podstawowa

    Zakres źródła: Treści nauczania: obliczenia, geometria i rozumowanie

  2. CKE: Wybrane wzory matematyczne

    Zakres źródła: Rozdziały10–12: planimetria,współrzędne i stereometria