Matematyka

Podstawowy — szkoła podstawowa

Podstawy kombinatoryki i prawdopodobieństwa

Zliczanie możliwości

Liczenie możliwości zaczyna się od rozpoznania etapów i wykluczania podwójnego liczenia. Gdy po każdym wyborze pierwszego etapu jest tyle samo wyborów drugiego, liczby możliwości mnożymy. Rozłączne alternatywy dodajemy.

Najważniejsze w skrócie

  • m wyborów, a po każdym n wyborów → mn wyników
  • Rozłączne alternatywy dodajemy.

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Mnożenie i uporządkowana lista.

Po tej lekcji

  • Zbuduj wybór etapami
  • Oddziel rozłączne sytuacje

Zbuduj wybór etapami

Dla każdej z 3 bluz można wybrać dowolne z 2 spodni: trzy gałęzie po dwie możliwości dają sześć zestawów. Jeżeli po pierwszym wyborze obiekt znika, liczba możliwości następnego etapu maleje.

m wyborów, a po każdym n wyborów → mn wyników

Wszystkie pełne wyniki odpowiadają parom wyborów.

Kiedy stosujemy: Sprawdź, czy kolejność ma znaczenie i czy wolno powtarzać wybory.

Przykłady zastosowania

  • Kod dwucyfrowy z cyfr 1,2,3 z powtórzeniami: 3 · 3.

Źródła: [1] [2].

Oddziel rozłączne sytuacje

Gdy wybieramy jedną rzecz: albo jedną z 4 herbat, albo jedną z 3 kaw, możliwości jest 4 + 3. Nie mnożymy, bo nie wybieramy naraz dwóch napojów.

Rozłączne alternatywy dodajemy.

Żaden wynik nie może być zaliczony do obu grup.

Kiedy stosujemy: Jeśli grupy zachodzą na siebie, wspólne elementy usuń z podwójnego liczenia.

Przykłady zastosowania

  • 4 herbaty albo 3 kawy: 7 wyborów.

Źródła: [1] [2].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Zestawy ubrania

Pytanie lub sytuacja: Masz 3 koszulki i 2 pary spodni. Ile różnych zestawów złożysz?

Jak podejść do zadania: Wybierz po jednej rzeczy obu rodzajów.

  1. Dla każdej koszulki są 2 możliwości spodni.
  2. Są 3 takie grupy.
  3. 3 · 2 = 6.

Odpowiedź: 6 zestawów.

Sprawdzenie i interpretacja: Można wypisać po 2 pary dla każdej z 3 koszulek.

2. Jeden napój

Pytanie lub sytuacja: Wybierasz jedną z 4 herbat albo jedną z 3 kaw. Ile jest wyborów?

Jak podejść do zadania: Dodaj rozłączne alternatywy.

  1. Nie wybieramy herbaty i kawy jednocześnie.
  2. Kategorie są rozłączne.
  3. 4 + 3 = 7.

Odpowiedź: 7.

Sprawdzenie i interpretacja: Lista zawiera dokładnie 7 różnych napojów.

3. Kod z powtórzeniami

Pytanie lub sytuacja: Ile kodów dwuznakowych powstaje z cyfr 1,2,3, jeśli wolno powtarzać?

Jak podejść do zadania: Policz wybory na każdej pozycji.

  1. Pierwsza pozycja: 3 wybory.
  2. Druga także 3, bo powtórzenie jest dozwolone.
  3. 3 · 3 = 9.

Odpowiedź: 9 kodów.

Sprawdzenie i interpretacja: 11,12,13,21,22,23,31,32,33.

4. Kod bez powtórzeń

Pytanie lub sytuacja: Ile kodów dwuznakowych z cyfr 1,2,3 powstaje bez powtórzeń?

Jak podejść do zadania: Po pierwszym wyborze usuń cyfrę.

  1. Pierwsza pozycja ma 3 możliwości.
  2. Druga ma już 2.
  3. 3 · 2 = 6.

Odpowiedź: 6 kodów.

Sprawdzenie i interpretacja: 12,13,21,23,31,32.

5. Para bez kolejności

Pytanie lub sytuacja: Z Ani, Basi i Celiny wybieramy dwie osoby. Ile różnych par jest możliwych?

Jak podejść do zadania: Wypisz pary bez zamiany kolejności.

  1. Ania–Basia i Basia–Ania to ta sama para.
  2. Lista: AB, AC, BC.
  3. Każda para występuje jeden raz.

Odpowiedź: 3 pary.

Sprawdzenie i interpretacja: Trzy wybory pierwszej osoby razy dwa drugiej daje 6 uporządkowanych par; dzielimy przez 2.

6. Trzy etapy

Pytanie lub sytuacja: Są 2 zupy, 3 dania i 2 desery. Ile obiadów z jedną pozycją każdego rodzaju można wybrać?

Jak podejść do zadania: Pomnóż możliwości trzech etapów.

  1. Zupę i danie wybierzemy na 2 · 3 = 6 sposobów.
  2. Do każdego zestawu są 2 desery.
  3. 6 · 2 = 12.

Odpowiedź: 12 obiadów.

Sprawdzenie i interpretacja: Dla każdej zupy jest 3 · 2 = 6 pełnych obiadów.

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: 3 koszulki i 2 spodnie dają 5 zestawów.

Dlaczego to błąd: Policzono pojedyncze rzeczy zamiast par.

Poprawnie: 3 · 2 = 6.

Błędne rozumowanie: Para AB jest inna niż BA bez względu na treść.

Dlaczego to błąd: Kolejność zależy od zadania.

Poprawnie: Przy wyborze komisji AB i BA to ta sama para.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Wszystkie pełne wyniki odpowiadają parom wyborów.
  • Żaden wynik nie może być zaliczony do obu grup.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 23.10.2026.

  1. ZPE: Matematyka — szkoła podstawowa

    Zakres źródła: Treści nauczania: obliczenia, geometria i rozumowanie

  2. ZPE: Reguła mnożenia,reguła dodawania

    Zakres źródła: Etapy i rozłączne alternatywy