Matematyka

Podstawowy — szkoła podstawowa

Równania

Zadania tekstowe z równaniami

Równanie jest modelem zależności opisanej słowami. Najpierw nazwij niewiadomą i jej jednostkę, potem zapisz obie strony tej samej zależności. Wynik musi spełnić nie tylko równanie, ale też warunki opisu.

Najważniejsze w skrócie

  • Nazwij x, wyraź pozostałe dane przez x, dopiero potem zapisz równość.
  • Sprawdź wszystkie warunki, a nie tylko ostatnią linijkę rachunku.

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Równania pierwszego stopnia.

Po tej lekcji

  • Zbuduj równanie z opisu
  • Wróć do pytania zadania

Zbuduj równanie z opisu

Niewiadoma powinna oznaczać jedną konkretną wielkość. Jeśli x jest liczbą książek Oli, „o 3 więcej” oznacza x + 3, a „trzy razy tyle” oznacza 3x.

Zapisuj jednostki w opisie, ale w rachunku dodawaj tylko zgodne wielkości.

Nazwij x, wyraź pozostałe dane przez x, dopiero potem zapisz równość.

Przypadkowe działanie na wszystkich liczbach z tekstu nie tworzy modelu.

Kiedy stosujemy: Ograniczenia z treści, np. naturalność liczby osób, pozostają ważne.

Przykłady zastosowania

  • Dwie liczby różniące się o 5: x oraz x + 5.

Źródła: [1] [2] [3].

Wróć do pytania zadania

Po rozwiązaniu podstaw wynik do opisu. Jeśli x oznaczał tańszy bilet, a pytano o droższy, trzeba obliczyć jeszcze jego cenę. Ujemna liczba przedmiotów oznacza błędny model albo brak rozwiązania w kontekście.

Sprawdź wszystkie warunki, a nie tylko ostatnią linijkę rachunku.

Rozwiązanie algebraiczne może nie należeć do dozwolonego zbioru.

Kiedy stosujemy: Liczby osób i przedmiotów są całkowite nieujemne.

Przykłady zastosowania

  • x = 3,5 nie może oznaczać liczby uczniów.

Źródła: [1] [2] [3].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Dwie liczby

Pytanie lub sytuacja: Suma dwóch liczb wynosi 35. Druga jest o 5 większa. Znajdź je.

Jak podejść do zadania: Oznacz mniejszą przez x.

  1. Druga liczba to x + 5.
  2. x + x + 5 = 35, więc 2x = 30.
  3. x = 15; druga liczba to 20.

Odpowiedź: 15 i 20.

Sprawdzenie i interpretacja: 15 + 20 = 35 i 20 − 15 = 5.

2. Trzy razy więcej

Pytanie lub sytuacja: Olek ma trzy razy tyle kartek co Ola. Razem mają 48. Ile ma każde?

Jak podejść do zadania: Oznacz liczbę Oli przez x.

  1. Olek ma 3x.
  2. x + 3x = 48, więc 4x = 48.
  3. x = 12; Olek ma 36.

Odpowiedź: Ola 12, Olek 36.

Sprawdzenie i interpretacja: 12 + 36 = 48 oraz 36 = 3 · 12.

3. Cena sztuki

Pytanie lub sytuacja: Za 4 jednakowe zeszyty i długopis za 6 zł zapłacono 30 zł. Ile kosztuje zeszyt?

Jak podejść do zadania: Oznacz cenę zeszytu przez x.

  1. Koszt zeszytów to 4x zł.
  2. 4x + 6 = 30, więc 4x = 24.
  3. x = 6 zł.

Odpowiedź: 6 zł.

Sprawdzenie i interpretacja: 4 · 6 + 6 = 30.

4. Wiek

Pytanie lub sytuacja: Mama jest o 24 lata starsza od córki. Razem mają 40 lat. Ile lat ma córka?

Jak podejść do zadania: Wiek córki oznacz przez x.

  1. Mama ma x + 24 lata.
  2. x + x + 24 = 40.
  3. 2x = 16, więc x = 8.

Odpowiedź: Córka ma 8 lat.

Sprawdzenie i interpretacja: Mama ma 32 lata; 32 + 8 = 40 i 32 − 8 = 24.

5. Boki prostokąta

Pytanie lub sytuacja: Obwód prostokąta wynosi 34 cm. Dłuższy bok jest o 3 cm dłuższy od krótszego. Podaj boki.

Jak podejść do zadania: Krótszy bok oznacz przez x.

  1. Dłuższy ma x + 3 cm.
  2. 2x + 2(x + 3) = 34.
  3. 4x = 28, więc x = 7; drugi bok 10.

Odpowiedź: 7 cm i 10 cm.

Sprawdzenie i interpretacja: 2 · 7 + 2 · 10 = 34 cm.

6. Warunek całkowitości

Pytanie lub sytuacja: W dwóch grupach jest razem 17 osób. Druga ma dwa razy tyle osób co pierwsza. Czy to możliwe?

Jak podejść do zadania: Sprawdź model w liczbach naturalnych.

  1. Pierwsza grupa: x, druga: 2x.
  2. 3x = 17, więc x = .
  3. To nie jest liczba całkowita.

Odpowiedź: Nie, tych warunków nie można spełnić.

Sprawdzenie i interpretacja: Liczba wszystkich osób musiałaby być wielokrotnością 3.

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: O 3 więcej oznacza 3x.

Dlaczego to błąd: Pomylono różnicę z ilorazem.

Poprawnie: O 3 więcej to x + 3.

Błędne rozumowanie: W grupie jest osoby.

Dlaczego to błąd: Pominięto znaczenie niewiadomej.

Poprawnie: W tym kontekście brak rozwiązania.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Przypadkowe działanie na wszystkich liczbach z tekstu nie tworzy modelu.
  • Rozwiązanie algebraiczne może nie należeć do dozwolonego zbioru.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 23.10.2026.

  1. ZPE: Matematyka — szkoła podstawowa

    Zakres źródła: Treści nauczania: obliczenia, geometria i rozumowanie

  2. ZPE: Przekształcanie wzorów

    Zakres źródła: Działania równoważne,wyznaczanie zmiennej i modele zadań

  3. ZPE: Równania i nierówności liniowe

    Zakres źródła: Równania liniowe i dozwolone działania po obu stronach