Zmiana podstawy logarytmu

Niech $c={\log }_a\left(b\right),$ czyli $a^c=b.$ Logarytmując obie strony przy podstawie k, dostajemy $c·{\log }_k\left(a\right)={\log }_k\left(b\right).$ Ponieważ a≠1, mianownik ${\log }_k\left(a\right)$jest niezerowy. Stąd $c=\frac{{\log }_k\left(b\right)}{{\log }_k\left(a\right)}.$

Dla b≠1 wzajemnie zamienione podstawa i argument dają odwrotności$:{\log }_a\left(b\right)=\frac{1}{{\log }_b\left(a\right)}.$ Po sprowadzeniu do wspólnej podstawy iloczyn ${\log }_a\left(b\right)·{\log }_b\left(c\right)$skraca się do ${\log }_a\left(c\right).$ Nie skreślamy liter bez wzoru:skracamy rzeczywiste niezerowe czynniki.

Dla a>0, a≠1, p≠0 mamy ${\log }_{a^p}\left(a^q\right)=\frac{q}{p}.$ Odpowiada to równaniu ${\left(a^p\right)}^x=a^q,$ więc px=q. Parametryczne przekształcenia wymagają tych samych warunków co liczbowe.