Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: podstawowy i rozszerzenie

Algebra

Wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia zapisują wynik rozdzielnego mnożenia w wygodnej postaci. Każda litera we wzorze może oznaczać całe wyrażenie. Najpierw rozpoznaj jego części, potem podstaw je razem ze znakami i sprawdź składniki mieszane.

Najważniejsze w skrócie

  • (a±b)2=a2±2 ab+b2; (a−b)(a+b)=a2−b2.
  • Suma sześcianów i sześcian sumy to różne wyrażenia.
  • (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Rozdzielność mnożenia i potęgi.

Po tej lekcji

  • Kwadrat sumy zawiera podwójny iloczyn
  • Sprawdź współczynniki 1,3,3,1
  • Dla trzech składników uwzględnij każdą parę

Kwadrat sumy zawiera podwójny iloczyn

(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2. Dwa środkowe składniki dają 2 ab. Dla różnicy zmienia się znak składnika mieszanego: (a−b)2=a2−2 ab+b2. Natomiast (a−b)(a+b)=a2−b2, bo składniki mieszane się znoszą.

(a±b)2=a2±2 ab+b2; (a−b)(a+b)=a2−b2.

Każdy składnik pierwszego nawiasu mnożymy przez każdy drugiego.

Kiedy stosujemy: Wzory są tożsamościami dla dowolnych rzeczywistych a, b.

Przykłady zastosowania

  • (2x−5)2=4x2−20x+25.

Źródła: [1].

Sprawdź współczynniki 1,3,3,1

(a+b)3=a3+3a2b+3 ab2+b3. Dla (a−b)3 znaki kolejno są +, −,+, −. Suma sześcianów rozkłada się inaczej: a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2). Nie jest to sześcian sumy.

Suma sześcianów i sześcian sumy to różne wyrażenia.

W sześcianie sumy pojawiają się dodatkowe składniki mieszane.

Kiedy stosujemy: Przed podstawieniem ustal, czy potęga obejmuje sumę, czy każdy składnik osobno.

Przykłady zastosowania

  • 8x3+27=(2x+3)(4x2−6x+9).

Źródła: [1].

Dla trzech składników uwzględnij każdą parę

W (a+b+c)2 występują kwadraty trzech składników oraz podwójne iloczyny każdej pary: 2 ab,2 ac,2 bc. Możesz też najpierw potraktować a+b jako jeden składnik i dopiero potem rozwinąć go ponownie.

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

Rozdzielność tworzy dziewięć iloczynów, z których pary mieszane się łączą.

Kiedy stosujemy: Znaki minus włącz do odpowiedniego składnika przed mnożeniem.

Przykłady zastosowania

  • (x+y−1)2=x2+y2+1+2xy−2x−2y.

Źródła: [1].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Kwadrat sumy

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Rozwiń(x+3)2.

Jak podejść do zadania: Podstaw a=x, b=3.

  1. Kwadraty: x2 i9.
  2. Podwójny iloczyn: 2·x·3=6x.
  3. Dodaję wszystkie trzy składniki.

Odpowiedź: x2+6x+9.

Sprawdzenie i interpretacja: Dla x=2 obie strony dają 25; rozdzielność uzasadnia wzór dla każdego x.

Przećwicz ten zakres

2. Cały składnik do kwadratu

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Rozwiń(2x−5)2.

Jak podejść do zadania: Podstaw całe a=2x i b=5.

  1. (2x)2=4x2.
  2. −2·2x·5=−20x.
  3. 52=25.

Odpowiedź: 4x2−20x+25.

Sprawdzenie i interpretacja: Dla x=1: 9=4−20+25.

Przećwicz ten zakres

3. Suma razy różnica

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Rozwiń(3x+2)(3x−2).

Jak podejść do zadania: Rozpoznaj różnicę kwadratów.

  1. (3x)2−22.
  2. Kwadraty dają 9x2 i4.
  3. Składniki mieszane się znoszą.

Odpowiedź: 9x2−4.

Sprawdzenie i interpretacja: Bezpośrednio 9x2−6x+6x−4 daje ten sam wynik.

Przećwicz ten zakres

4. Sześcian różnicy

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Rozwiń(x−2)3.

Jak podejść do zadania: Użyj znaków +, −,+, −.

  1. x3−3x2·2+3x·22−23.
  2. Obliczam współczynniki 6,12,8.
  3. Zachowuję minus przy ostatnim składniku.

Odpowiedź: x3−6x2+12x−8.

Sprawdzenie i interpretacja: Dla x=3 wynik 1 zgadza się z(3−2)3.

Przećwicz ten zakres

5. Suma dwóch sześcianów

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Rozłóż8x3+27.

Jak podejść do zadania: Zapisz składniki jako(2x)3 i33.

  1. Pierwszy czynnik to 2x+3.
  2. Drugi to(2x)2−(2x)·3+32.
  3. Upraszczam współczynniki.

Odpowiedź: (2x+3)(4x2−6x+9).

Sprawdzenie i interpretacja: Po wymnożeniu składniki x2 i x znikają; pozostaje 8x3+27.

Przećwicz ten zakres

6. Kwadrat trzech składników

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Rozwiń(x+y−1)2.

Jak podejść do zadania: Policz kwadraty oraz trzy pary.

  1. Kwadraty:x2+y2+1.
  2. Iloczyny par: 2 xy, −2x, −2y.
  3. Zbieram sześć składników.

Odpowiedź: x2+y2+1+2xy−2x−2y.

Sprawdzenie i interpretacja: Dla x=y=1 obie strony wynoszą 1.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: (a+b)2=a2+b2.

Dlaczego to błąd: Pominięto dwa iloczyny mieszane.

Poprawnie: Dodaj2ab.

Błędne rozumowanie: (a−b)3 kończy się+b3.

Dlaczego to błąd: Nieparzysta potęga ujemnego składnika zachowuje minus.

Poprawnie: Ostatni składnik to −b3.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Każdy składnik pierwszego nawiasu mnożymy przez każdy drugiego.
  • W sześcianie sumy pojawiają się dodatkowe składniki mieszane.
  • Rozdzielność tworzy dziewięć iloczynów, z których pary mieszane się łączą.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 23.10.2026.

  1. CKE — wzory skróconego mnożenia

    Zakres źródła: Rozdziały 5–6, strona 7; kwadraty, sześciany i rozkłady