Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: podstawowy

Ciągi liczbowe

Wzór ogólny i rekurencja

Ciąg przypisuje każdemu kolejnemu numerowi n jedną wartość an.a_n. Wzór ogólny pozwala od razu policzyć wskazany wyraz; rekurencja korzysta z poprzednich wartości i potrzebuje początku. W tej lekcji numerujemy wyrazy od n=1.

Najważniejsze w skrócie

  • We wzorze ogólnym podstaw wskazany numer w każdym miejscu n.
  • Rekurencja składa się z warunków początkowych i reguły przejścia.
  • Właściwość całego ciągu uzasadnij dla dowolnego dopuszczalnego n.

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Podstawianie do wzorów i kolejność działań.

Po tej lekcji

  • Numer nie jest wartością
  • Krok bez początku nie wystarczy
  • Sprawdź zmianę, nie pojedynczy wyraz

Numer nie jest wartością

Dla an=2n+1a_n=2n+1 pierwszy wyraz to 3, a piąty 11. Indeks n mówi, który wyraz liczymy;an; a_n to jego wartość. Dziedzina numerów jest dyskretna: nie szukamy wyrazu numer 2,5 w ciągu numerowanym liczbami naturalnymi.

We wzorze ogólnym podstaw wskazany numer w każdym miejscu n.

Funkcja ciągu ma numery jako argumenty.

Kiedy stosujemy: Tu n∈{1,2,3,…}; inne zadania mogą jawnie przyjąć początek 0.

Przykłady zastosowania

  • a5=2·5+1=11.a_5=2·5+1=11.

Źródła: [1].

Krok bez początku nie wystarczy

Zapis an+1=an+3a_(n+1)=a_n+3 określa przyrost, ale bez a1a_1 może opisywać wiele różnych ciągów. Po ustaleniu a1=2a_1=2 dostajemy 2,5,8,11,… . W rekurencji zależnej od dwóch poprzednich wyrazów trzeba podać dwa początkowe.

Rekurencja składa się z warunków początkowych i reguły przejścia.

Różne początki przy tej samej regule mogą dać różne wartości.

Kiedy stosujemy: Obliczaj potrzebne wcześniejsze wyrazy we właściwej kolejności.

Przykłady zastosowania

  • a1=2,an+1=an+3a_1=2, a_(n+1)=a_n+3 daje a3=8.a_3=8.

Źródła: [1].

Sprawdź zmianę, nie pojedynczy wyraz

Monotoniczność dotyczy porównania wyrazów przy rosnących indeksach. Jeśli dla każdego n mamy an+1-an>0,a_(n+1)−a_n>0, ciąg jest rosnący. Kilka początkowych wartości sugeruje wzór, lecz samo ich wypisanie nie jest dowodem ogólnej własności.

Właściwość całego ciągu uzasadnij dla dowolnego dopuszczalnego n.

Późniejsze wyrazy nie są wyznaczone samym domysłem po kilku liczbach.

Kiedy stosujemy: Sprawdzany warunek musi obejmować wszystkie indeksy.

Przykłady zastosowania

  • Dla an=2n+1a_n=2n+1 różnica kolejnych wyrazów to 2.

Źródła: [1].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Piąty wyraz

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Dla an=2n+1a_n=2n+1 oblicz a5.a_5.

Jak podejść do zadania: Podstaw indeks 5.

  1. a5=2·5+1.a_5=2·5+1.
  2. 10+1=11.
  3. Nie zastępuję n wartością wcześniejszego wyrazu.

Odpowiedź: 11.

Sprawdzenie i interpretacja: Pierwsze wyrazy 3,5,7,9,11 potwierdzają obliczenie.

Przećwicz ten zakres

2. Nawias przy indeksie

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Dla an=n2-1a_n=n^2−1 oblicz a4.a_4.

Jak podejść do zadania: Wstaw 4 i zachowaj potęgowanie.

  1. 42−1.
  2. 16−1.
  3. Wynik15.

Odpowiedź: 15.

Sprawdzenie i interpretacja: To wartość czwartego wyrazu, nie jego indeks.

Przećwicz ten zakres

3. Kolejne kroki

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Dane a1=2,an+1=an+3.a_1=2, a_(n+1)=a_n+3. Oblicz a4.a_4.

Jak podejść do zadania: Wykonaj trzy przejścia od pierwszego wyrazu.

  1. a2=5.a_2=5.
  2. a3=8.a_3=8.
  3. a4=11.a_4=11.

Odpowiedź: 11.

Sprawdzenie i interpretacja: Od a1a_1 do a4a_4 są trzy przyrosty 3, więc 2+9=11.

Przećwicz ten zakres

4. Dwa warunki początkowe

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Dane a1=1,a2=2a_1=1, a_2=2 oraz an+2=an+1+an.a_(n+2)=a_(n+1)+a_n. Oblicz a5.a_5.

Jak podejść do zadania: Używaj dwóch ostatnich wartości.

  1. a3=2+1=3.a_3=2+1=3.
  2. a4=3+2=5.a_4=3+2=5.
  3. a5=5+3=8.a_5=5+3=8.

Odpowiedź: 8.

Sprawdzenie i interpretacja: W każdym kroku suma dotyczy dwóch poprzednich wyrazów, nie stałych 1 i2.

Przećwicz ten zakres

5. Dowód wzrostu

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Wykaż, że an=3n-4a_n=3n−4 jest rosnący.

Jak podejść do zadania: Oblicz różnicę dla dowolnego n.

  1. an+1=3n-1.a_(n+1)=3n−1.
  2. an+1-an=(3n-1)-(3n-4)=3.a_(n+1)−a_n=(3n−1)−(3n−4)=3.
  3. 3>0 dla każdego n.

Odpowiedź: Ciąg jest rosnący.

Sprawdzenie i interpretacja: Dowód obejmuje dowolny indeks, także poza wypisanym początkiem.

Przećwicz ten zakres

6. Czy liczba jest wyrazem?

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Czy 8 występuje w ciągu an=2n+1?a_n=2n+1?

Jak podejść do zadania: Rozwiąż równanie i sprawdź indeks.

  1. 2n+1=8.
  2. n==3,5.
  3. To nie jest dopuszczalny numer naturalny.

Odpowiedź: Nie.

Sprawdzenie i interpretacja: Ciąg zawiera tylko nieparzyste liczby 3,5,7,9,… .

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: W rekurencji wystarczy sama reguła dodawania 3.

Dlaczego to błąd: Bez początku nie znamy żadnej konkretnej wartości.

Poprawnie: Podaj wymagane wyrazy początkowe.

Błędne rozumowanie: Pasujący ułamkowy numer jest wyrazem ciągu.

Dlaczego to błąd: Indeks musi należeć do dziedziny numerów.

Poprawnie: Sprawdź naturalność n.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Funkcja ciągu ma numery jako argumenty.
  • Różne początki przy tej samej regule mogą dać różne wartości.
  • Późniejsze wyrazy nie są wyznaczone samym domysłem po kilku liczbach.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 23.10.2026.

  1. CKE — ciągi arytmetyczne, geometryczne i procent składany

    Zakres źródła: Rozdział 8, strony 9–10; wyrazy, sumy i kapitalizacja