Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: podstawowy i rozszerzenie

Algebra

Wyrażenia wymierne i dziedzina

Wyrażenie wymierne jest ilorazem wielomianów. Jego mianownik nie może się zerować. Rozkład i skracanie upraszczają zapis, lecz nie przywracają wartości wykluczonych w oryginale. Przy dzieleniu wykluczamy też miejsca, w których dzielnik ma wartość 0.

Najważniejsze w skrócie

  • Skracamy czynniki iloczynu, nie składniki sumy.
  • Dodajemy liczniki dopiero po uzgodnieniu mianownika.
  • Dziedzina wynika z całego pierwotnego działania.

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Rozkład na czynniki i działania na ułamkach.

Po tej lekcji

  • Najpierw ograniczenia, potem skracanie
  • Wspólny mianownik i rozkład
  • Odwrócenie wymaga niezerowego dzielnika

Najpierw ograniczenia, potem skracanie

Dla(x2-9)(x-3)(x^2−9)/(x−3) wykluczamy 3. Po rozkładzie licznika skracamy wspólny niezerowy czynnik x−3 i dostajemy x+3, ale nadal z warunkiem x≠3. Uproszczony wzór bez tej informacji miałby szerszą dziedzinę.

Skracamy czynniki iloczynu, nie składniki sumy.

Ułamek mnożony w liczniku i mianowniku przez ten sam czynnik ma tę samą wartość, gdy czynnik jest niezerowy.

Kiedy stosujemy: Zachowaj wszystkie wykluczenia pierwotnych mianowników.

Przykłady zastosowania

  • (x2-9)(x-3)=x+3(x^2−9)/(x−3)=x+3 dla x≠3.

Źródła: [1].

Wspólny mianownik i rozkład

Przy mnożeniu rozkładamy czynniki i skracamy dopuszczalne wspólne elementy. Przy dodawaniu najpierw ustalamy wspólny mianownik i rozszerzamy każdy licznik. Minus przed drugim licznikiem obejmuje całą jego sumę.

Dodajemy liczniki dopiero po uzgodnieniu mianownika.

Każdy składnik musi opisywać tę samą jednostkę ułamkową.

Kiedy stosujemy: Wspólny mianownik nie może być zerowy.

Przykłady zastosowania

  • 1x+1(x+1)=(2x+1)(x(x+1)).1/x+1/(x+1)=(2x+1)/(x(x+1)).

Źródła: [2].

Odwrócenie wymaga niezerowego dzielnika

Dzieląc przez P/Q, wymagamy Q≠0, żeby dzielnik istniał, oraz P≠0, żeby nie był zerem. Dopiero wtedy mnożymy przez Q/P. Wykluczenia mogą zniknąć z uproszczonego wzoru, ale pozostają w odpowiedzi.

Dziedzina wynika z całego pierwotnego działania.

Skrócona postać nie pamięta automatycznie, czego wcześniej zabraniał zapis.

Kiedy stosujemy: Sprawdź mianowniki wszystkich składników oraz licznik odwracanego dzielnika.

Przykłady zastosowania

  • (x(x-1)):(x(x+1))=(x+1)(x-1),(x/(x−1)): (x/(x+1))=(x+1)/(x−1), przy x≠−1,0,1.

Źródła: [1].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Usunięta kreska nie usuwa wykluczenia

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Uprość(x2-9)(x-3)i(x^2−9)/(x−3) i podaj dziedzinę.

Jak podejść do zadania: Najpierw wyklucz zero mianownika.

  1. x≠3.
  2. Licznik=(x−3)(x+3).
  3. Skracam x−3 w dopuszczalnej dziedzinie.

Odpowiedź: x+3; x∈R∖{3}.

Sprawdzenie i interpretacja: Dla x=0 oba zapisy dają 3; dla x=3 oryginał nie istnieje.

Przećwicz ten zakres

2. Skracanie przy mnożeniu

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Uprość x(x-1)·(x-1)(x+2).x/(x−1) · (x−1)/(x+2).

Jak podejść do zadania: Wyznacz mianowniki i wspólny czynnik.

  1. x≠1 oraz x≠−2.
  2. Czynnik x−1 można skrócić.
  3. Pozostaje x(x+2).x/(x+2).

Odpowiedź: x(x+2);x≠1,-2.x/(x+2); x≠1, −2.

Sprawdzenie i interpretacja: Wykluczenie 1 pozostaje, mimo braku x−1 w końcowym mianowniku.

Przećwicz ten zakres

3. Ten sam mianownik

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Uprość2x+3x.2/x+3/x.

Jak podejść do zadania: Dodaj liczniki wspólnych ułamków.

  1. Warunek x≠0.
  2. (2+3)x.(2+3)/x.
  3. Licznik wynosi 5.

Odpowiedź: 5x;x≠0.5/x; x≠0.

Sprawdzenie i interpretacja: Dla x=2: 1+1,5=2,5=.

Przećwicz ten zakres

4. Różne mianowniki

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Dodaj1x+1(x+1).1/x+1/(x+1).

Jak podejść do zadania: Użyj wspólnego mianownika x(x+1).

  1. x≠0,−1.
  2. Licznik:(x+1)+x=2x+1.
  3. Mianownik pozostaje x(x+1).

Odpowiedź: (2x+1)(x(x+1));x≠0,-1.(2x+1)/(x(x+1)); x≠0, −1.

Sprawdzenie i interpretacja: Dla x=1: 1+=.

Przećwicz ten zakres

5. Dzielnik też nie może być zerem

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Uprość(x(x-1)):(x(x+1)).(x/(x−1)):(x/(x+1)).

Jak podejść do zadania: Zapisz warunki obu ułamków i dzielnika.

  1. x≠1, −1, a ponadto x≠0.
  2. Mnożę x(x-1)x/(x−1) przez(x+1)x.(x+1)/x.
  3. Skracam niezerowe x.

Odpowiedź: (x+1)(x-1);x≠-1,0,1.(x+1)/(x−1); x≠−1,0,1.

Sprawdzenie i interpretacja: Dla x=2: 2: ()=3, zgodnie z.

Przećwicz ten zakres

6. Dwa pierwotne wykluczenia

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Uprość(x2-1)(x2+x).(x^2−1)/(x^2+x).

Jak podejść do zadania: Rozłóż licznik i mianownik.

  1. x2+x=x(x+1), więc x≠0, −1.
  2. Licznik=(x−1)(x+1).
  3. Skracam x+1.

Odpowiedź: (x-1)x;x≠0,-1.(x−1)/x; x≠0, −1.

Sprawdzenie i interpretacja: Dla x=−1 nowy wzór miałby wartość 2, ale pierwotny nie istnieje.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: (x+1)x(x+1)/x można skrócić do 1+1.

Dlaczego to błąd: Nie wolno skracać części sumy jako czynnika.

Poprawnie: Dla x≠0:1+1x.x≠0: 1+1/x.

Błędne rozumowanie: Po skróceniu czynnika zapominam o jego zerach.

Dlaczego to błąd: Uproszczenie zachowuje wartości w starej dziedzinie.

Poprawnie: Do wyniku dopisz pierwotne wykluczenia.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Ułamek mnożony w liczniku i mianowniku przez ten sam czynnik ma tę samą wartość, gdy czynnik jest niezerowy.
  • Każdy składnik musi opisywać tę samą jednostkę ułamkową.
  • Skrócona postać nie pamięta automatycznie, czego wcześniej zabraniał zapis.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 23.10.2026.

  1. ZPE — wyrażenia wymierne i ich dziedzina
  2. ZPE — mnożenie wyrażeń wymiernych
  3. ZPE — działania na wielomianach