Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: podstawowy

Potęgi, pierwiastki i logarytmy

Własności logarytmów

Wzory logarytmiczne zamieniają mnożenie dodatnich argumentów na dodawanie, a dzielenie na odejmowanie. Działają dla tej samej dopuszczalnej podstawy. Nauczymy się rozpoznawać strukturę wyrażenia i zachowywać dziedzinę.

Najważniejsze w skrócie

  • loga(xy)=loga(x)+loga(y);loga(xy)=loga(x)-loga(y).log_a(xy)=log_a(x)+log_a(y); log_a(x/y)=log_a(x)−log_a(y).
  • Wykładnik można przenieść przed logarytm przy spełnionych warunkach.
  • Sprawdź pierwotną dziedzinę, zanim użyjesz skróconego zapisu.

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Definicja logarytmu i prawa potęg.

Po tej lekcji

  • Dlaczego pojawia się suma?
  • Współczynnik przed logarytmem
  • Nie ma wzoru na logarytm sumy przez sumę logarytmów

Dlaczego pojawia się suma?

Jeśli x=auiy=av,x=a^u i y=a^v, to xy=au+v.=a^(u+v). Właśnie dlatego loga(xy)=loga(x)+loga(y).log_a(xy)=log_a(x)+log_a(y). Analogicznie iloraz daje różnicę wykładników. To objaśnienie wskazuje też warunki:x, y>0 oraz a>0, a≠1.

loga(xy)=loga(x)+loga(y);loga(xy)=loga(x)-loga(y).log_a(xy)=log_a(x)+log_a(y); log_a(x/y)=log_a(x)−log_a(y).

Wynika to z dodawania lub odejmowania wykładników tej samej podstawy.

Kiedy stosujemy: Podstawy logarytmów muszą być jednakowe; nie zamieniaj iloczynu na sumę przy różnych podstawach.

Przykłady zastosowania

  • log2(4)+log2(8)=log2(32)=5.log_2(4)+log_2(8)=log_2(32)=5.

Źródła: [1].

Współczynnik przed logarytmem

Dla x>0 mamy loga(xr)=r·loga(x).log_a(x^r)=r·log_a(x). Dla parzystej potęgi i x≠0 można zapisać loga(x2)=2loga(|x|),log_a(x^2)=2 log_a(|x|), gdyż moduł zapewnia dodatni argument. Opuszczenie modułu przy ujemnym x zawężałoby dziedzinę.

Wykładnik można przenieść przed logarytm przy spełnionych warunkach.

Potęga mnoży wykładniki.

Kiedy stosujemy: Wzór loga(xr)=log_a(x^r)=rlog_a(x)w_a(x)w tej postaci wymaga dodatniego x.

Przykłady zastosowania

  • log3(92)=2log3(9)=4.log_3(9^2)=2 log_3(9)=4.

Źródła: [1].

Nie ma wzoru na logarytm sumy przez sumę logarytmów

Wzory dotyczą mnożenia i dzielenia argumentów.loga(x+y). log_a(x+y)zwykle nie jest równy loga(x)+loga(y).log_a(x)+log_a(y). Po połączeniu logarytmów zachowaj warunki każdego pierwotnego składnika:nawet dodatni iloczyn dwóch ujemnych liczb nie pozwala zapisać dwóch osobnych rzeczywistych logarytmów z tych liczb.

Sprawdź pierwotną dziedzinę, zanim użyjesz skróconego zapisu.

Przekształcenie nie tworzy brakujących logarytmów.

Kiedy stosujemy: Warunki poszczególnych argumentów pozostają częścią rozwiązania.

Przykłady zastosowania

  • log2(8+8)=4,alog2(8)+log2(8)=6.log_2(8+8)=4, a log_2(8)+log_2(8)=6.

Źródła: [1].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Suma logarytmów

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Oblicz log2(4)+log2(8).log_2(4)+log_2(8).

Jak podejść do zadania: Połącz dodatnie argumenty iloczynem.

  1. log2(4·8)=log2(32).log_2(4·8)=log_2(32).
  2. 32=25.
  3. Wynik to 5.

Odpowiedź: 5.

Sprawdzenie i interpretacja: Oddzielnie 2+3=5.

Przećwicz ten zakres

2. Różnica logarytmów

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Oblicz log3(81)-log3(3).log_3(81)−log_3(3).

Jak podejść do zadania: Zastąp różnicę ilorazem.

  1. =27.
  2. log3(27)=3.log_3(27)=3.
  3. Oba argumenty pierwotne są dodatnie.

Odpowiedź: 3.

Sprawdzenie i interpretacja: 4−1=3.

Przećwicz ten zakres

3. Potęga wewnątrz

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Oblicz log3(92).log_3(9^2).

Jak podejść do zadania: Wyłącz wykładnik przed logarytm.

  1. 9>0, więc wzór jest dopuszczalny.
  2. 2log3(9)=2·2.2 log_3(9)=2·2.
  3. Wynik to 4.

Odpowiedź: 4.

Sprawdzenie i interpretacja: 92=81=34.

Przećwicz ten zakres

4. Kontrprzykład

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Czy log2(8+8)=log2(8)+log2(8)?log_2(8+8)=log_2(8)+log_2(8)?

Jak podejść do zadania: Oblicz obie strony niezależnie.

  1. Lewa:strona log2(16)=4.log_2(16)=4.
  2. Prawa:strona 3+3=6.
  3. 4≠6.

Odpowiedź: Nie; reguła jest fałszywa.

Sprawdzenie i interpretacja: Poprawny wzór po prawej prowadzi do log2(8·8),log_2(8·8), nie do logarytmu sumy.

Przećwicz ten zakres

5. Ujemne x pod kwadratem

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Dla x=−4 porównaj log2(x2)i2log2(x).log_2(x^2) i 2 log_2(x).

Jak podejść do zadania: Sprawdź dziedzinę przed użyciem potęgi.

  1. x2=16, więc pierwszy logarytm wynosi 4.
  2. log2(-4)log_2(−4)nie istnieje w R.
  3. Poprawny wzór to 2log2(|x|)=2·2=4.2 log_2(|x|)=2·2=4.

Odpowiedź: Pierwszy zapis ma wartość 4; drugi nie jest określony.

Sprawdzenie i interpretacja: Moduł pozwala zachować wszystkie x≠0 w poprawnym wzorze.

Przećwicz ten zakres

6. Warunki pozostają

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Jaka jest dziedzina log2(x-1)+log2(x+1)?log_2(x−1)+log_2(x+1)?

Jak podejść do zadania: Wymagaj dodatniości obu argumentów.

  1. x−1>0 daje x>1.
  2. x+1>0 daje x>−1.
  3. Łącznie x>1, nawet jeśli zapiszę log2(x2-1).log_2(x^2−1).

Odpowiedź: Dziedzina:(1;+∞).

Sprawdzenie i interpretacja: x=−2 daje dodatnie x2−1, ale oba pierwotne argumenty są ujemne.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Logarytm sumy jest sumą logarytmów.

Dlaczego to błąd: Wzór dotyczy iloczynu.

Poprawnie: Sprawdź przykład 8+8.

Błędne rozumowanie: Po połączeniu logarytmów mogę zapomnieć o ich dziedzinach.

Dlaczego to błąd: Nowy zapis może mieć szerszą dziedzinę.

Poprawnie: Zachowaj warunki każdego argumentu.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Wynika to z dodawania lub odejmowania wykładników tej samej podstawy.
  • Potęga mnoży wykładniki.
  • Przekształcenie nie tworzy brakujących logarytmów.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 23.10.2026.

  1. CKE — logarytmy

    Zakres źródła: Rozdział 3, strony 5–6; definicja, własności i zmiana podstawy

  2. ZPE — przekształcanie wyrażeń z logarytmami