Matematyka
Średni — liceum i technikum
Zakres materiału: rozszerzenie
Wektory
Wektor opisuje przesunięcie: kierunek, zwrot i długość. Współrzędne wektora od A do B są różnicami współrzędnych końca i początku. Wektory o tych samych współrzędnych mogą zaczynać się w różnych miejscach.
Najważniejsze w skrócie
- (a,b) + (c,d) = (a + c,b + d)
- u · v = |u||v| cos α
Co warto wiedzieć na początek
Przydatne pojęcia i umiejętności
- Współrzędne i trygonometria.
Po tej lekcji
- Licz przesunięcia współrzędnymi
- Połącz długość z kątem
Licz przesunięcia współrzędnymi
Zakres: Rozszerzenie
AB = (xB − xA,yB − yA). Dodawanie wektorów składa dwa przesunięcia, więc dodajemy odpowiadające współrzędne. Mnożenie przez liczbę skaluje długość i ewentualnie odwraca zwrot.
(a,b) + (c,d) = (a + c,b + d)
Przesunięcia poziome i pionowe sumują się niezależnie.
Kiedy stosujemy: Wektor BA jest przeciwny do AB.
Przykłady zastosowania
- 2(3,−1) = (6,−2).
Źródła: [2].
Połącz długość z kątem
Zakres: Rozszerzenie
Długość (a,b) wynosi Iloczyn skalarny u · v = u₁v₁ + u₂v₂ jest równy Zerowy iloczyn dwóch niezerowych wektorów oznacza prostopadłość.
u · v = |u||v| cos α
Wzór łączy opis współrzędnymi z geometrią kąta.
Kiedy stosujemy: Kąt definiujemy tylko między wektorami niezerowymi.
Przykłady zastosowania
- (1,2) · (2,−1) = 0.
Źródła: [2].
Omówione przykłady krok po kroku
1. Od A do B
Zakres: Rozszerzenie
Pytanie lub sytuacja: A = (−1,3), B = (4,1). Oblicz AB.
Jak podejść do zadania: Koniec minus początek.
- x: 4 − (−1) = 5.
- y: 1 − 3 = −2.
- AB = (5,−2).
Odpowiedź: (5,−2).
Sprawdzenie i interpretacja: A + AB = (4,1) = B.
2. Suma
Zakres: Rozszerzenie
Pytanie lub sytuacja: Dodaj (2,−3) i (−5,7).
Jak podejść do zadania: Dodaj odpowiednie współrzędne.
- 2 + (−5) = −3.
- −3 + 7 = 4.
- Suma to (−3,4).
Odpowiedź: (−3,4).
Sprawdzenie i interpretacja: Odjęcie (−5,7) od sumy daje (2,−3).
3. Skalowanie
Zakres: Rozszerzenie
Pytanie lub sytuacja: Oblicz −2(3,−4).
Jak podejść do zadania: Pomnóż obie współrzędne.
- −2 · 3 = −6.
- −2 · (−4) = 8.
- Wektor to (−6,8).
Odpowiedź: (−6,8).
Sprawdzenie i interpretacja: Długość rośnie 2 razy, zwrot się odwraca.
4. Długość
Zakres: Rozszerzenie
Pytanie lub sytuacja: Oblicz długość (−6,8).
Jak podejść do zadania: Użyj Pitagorasa.
- (−6)2 + 82 = 36 + 64.
- Suma wynosi 100.
- Pierwiastek to 10.
Odpowiedź: 10.
Sprawdzenie i interpretacja: Wektor (−3,4) ma długość 5, a podano jego dwukrotność.
5. Prostopadłość
Zakres: Rozszerzenie
Pytanie lub sytuacja: Czy (1,2) i (2,−1) są prostopadłe?
Jak podejść do zadania: Policz iloczyn skalarny.
- 1 · 2 + 2 · (−1) = 0.
- Oba wektory są niezerowe.
- Zerowy iloczyn oznacza kąt 90°.
Odpowiedź: Tak.
Sprawdzenie i interpretacja: Cosinus kąta wynosi 0.
6. Kąt
Zakres: Rozszerzenie
Pytanie lub sytuacja: Oblicz kąt między (1,0) i (1,1).
Jak podejść do zadania: Podziel iloczyn skalarny przez iloczyn długości.
- Iloczyn skalarny wynosi 1.
- Długości to
- więc α = 45°.
Odpowiedź: 45°.
Sprawdzenie i interpretacja: Drugi wektor leży na dwusiecznej I ćwiartki.
Typowe błędy i poprawne rozumowanie
Błędne rozumowanie: AB = A − B.
Dlaczego to błąd: Odwrócono kierunek przesunięcia.
Poprawnie: AB = B − A.
Błędne rozumowanie: Iloczyn skalarny jest wektorem.
Dlaczego to błąd: Jest liczbą rzeczywistą.
Poprawnie: u · v oblicza się jako sumę dwóch iloczynów.
Podsumowanie — zapamiętaj
- Przesunięcia poziome i pionowe sumują się niezależnie.
- Wzór łączy opis współrzędnymi z geometrią kąta.
Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach
Źródła i dalsza nauka
Data sprawdzenia materiału: 23.10.2026.
- ZPE: Matematyka — liceum i technikum
Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym
- CKE: Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej
Zakres źródła: Rozdział 11: proste, okręgi, odległości i wektory