Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: podstawowy i rozszerzenie

Trygonometria

Wartości i znaki funkcji trygonometrycznych

Wartości dla30°,45°,60° wynikają z dwóch szczególnych trójkątów. Dla pozostałych ćwiartek zachowujemy wartość kąta odniesienia i ustalamy znak ze współrzędnych okręgu jednostkowego.

Najważniejsze w skrócie

  • sin30°=12;sin45°=22;sin60°=32sin30°=1/2;sin45°=√2/2;sin60°=√3/2
  • sin(π-α)=sinα;cos(π-α)=-cosαsin(π−α)=sinα;cos(π−α)=−cosα

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Trójkąty szczególne i okrąg jednostkowy.

Po tej lekcji

  • Zapamiętaj zależności z trójkątów
  • Ustal ćwiartkę przed znakiem

Zapamiętaj zależności z trójkątów

Zakres: Podstawowy

W trójkącie30°–60°–90° boki są w stosunku1:3:2.W1:√3:2. W trójkącie45°–45°–90° stosunek wynosi1:1:2.Z1:1:√2. Z tych proporcji wyprowadzamy tabelę,zamiast zgadywać.

sin30°=12;sin45°=22;sin60°=32sin30°=1/2;sin45°=√2/2;sin60°=√3/2

Cosinus kąta ostrego jest sinusem kąta dopełniającego do90°.

Kiedy stosujemy: Argumenty tej tabeli podane są w stopniach.

Przykłady zastosowania

  • cos30°=32,tg45°=1.cos30°=√3/2,tan45°=1.

Źródła: [2].

Ustal ćwiartkę przed znakiem

Zakres: Rozszerzenie

Sinus jest dodatni w I i II ćwiartce,cosinus w I i IV,tangens w I i III. Pełny obrót nie zmienia sinusa ani cosinusa,półobrót nie zmienia tangensa.

Dla kątów ujemnych sinus i tangens zmieniają znak,a cosinus nie.

sin(π-α)=sinα;cos(π-α)=-cosαsin(π−α)=sinα;cos(π−α)=−cosα

Odbicie punktu okręgu w osi Y zmienia współrzędną poziomą.

Kiedy stosujemy: Nie przenoś jednej reguły znaku na wszystkie funkcje.

Przykłady zastosowania

  • sin150°=12,cos150°=-32.sin150°=1/2,cos150°=−√3/2.

Źródła: [2].

Sprawdź na interaktywnym modelu

Zobacz, jak to działa

Zmieniaj kąt. Dodatni zwrot biegnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Punkt po pełnym obrocie wraca w to samo miejsce; zapis kąta zachowuje wszystkie obroty.

xy1−11−1POkrąg o promieniu 1

30° = π/6 rad

Pełne obroty ze znakiem: 0; pozostały kąt: 30°. Kierunek końcowy: 30°.

cos α ≈ 0,866; sin α ≈ 0,5. Są to współrzędne punktu P.

tg α = sin α / cos α ≈ 0,5774.

Źródła: [1] [2].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Sinus30°

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Oblicz sin30°.

abc30°a = 1b = √3c = 2

Oblicz sin30°.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Użyj połowy trójkąta równobocznego.

  1. Przeciwprostokątna ma umownie2.
  2. Bok naprzeciw30° ma1.
  3. Iloraz.

Odpowiedź: .

Sprawdzenie i interpretacja: Wartość odpowiada krótszemu bokowi podzielonemu przez2.

Przećwicz ten zakres

2. Cosinus45°

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Oblicz cos45°.

abc45°a = 1b = 1c = √2

Oblicz cos45°.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Użyj równych przyprostokątnych.

  1. Przyjmij boki1,1,2.1,1,√2.
  2. cos45°=12.cos45°=1/√2.
  3. Po usunięciu niewymierności22.√2/2.

Odpowiedź: 22.√2/2.

Sprawdzenie i interpretacja: Kwadrat wartości wynosi.

Przećwicz ten zakres

3. Tangens60°

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Oblicz tan60°.

abc60°a = √3b = 1c = 2

Oblicz tan60°.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Użyj stosunku boków.

  1. Naprzeciw60° leży3.√3.
  2. Przy kącie60° leży1.
  3. tg60°=3.tan60°=√3.

Odpowiedź: 3.√3.

Sprawdzenie i interpretacja: (sin60°)(cos60°)=(32)(12)=3.(sin60°)/(cos60°)=(√3/2)/(1/2)=√3.

Przećwicz ten zakres

4. Druga ćwiartka

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Oblicz cos150°.

xyO150°

Oblicz cos150°.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Zredukuj do30° i ustal znak.

  1. 150°=180°−30°.
  2. W II ćwiartce cosinus jest ujemny.
  3. cos150°=-cos30°=-32.cos150°=−cos30°=−√3/2.

Odpowiedź: -32.−√3/2.

Sprawdzenie i interpretacja: Współrzędna pozioma punktu jest ujemna.

Przećwicz ten zakres

5. Pełny obrót

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Oblicz sin390°.

xyO390°

Oblicz sin390°.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Odejmij360°.

  1. 390°=360°+30°.
  2. Sinus ma okres360°.
  3. Wartość jest równa sin30°=.

Odpowiedź: .

Sprawdzenie i interpretacja: Oba kąty prowadzą do tego samego punktu okręgu.

Przećwicz ten zakres

6. Ujemny kąt

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Oblicz sin(-π6).sin(−π/6).

xyO−π/6

Oblicz sin(−π/6).

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Użyj nieparzystości sinusa.

  1. π/6 rad=30°.
  2. sin(-α)=-sinα.sin(−α)=−sinα.
  3. Wynik−.

Odpowiedź: −.

Sprawdzenie i interpretacja: Punkt jest w IV ćwiartce i ma ujemną współrzędną pionową.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: W II ćwiartce wszystkie funkcje są dodatnie.

Dlaczego to błąd: Dodatni jest tylko sinus spośród sin,cos,tan.

Poprawnie: Cosinus i tangens są ujemne.

Błędne rozumowanie: sin390°=sin30° dopiero po zmianie stopni na radiany.

Dlaczego to błąd: Okresowość można stosować w obu jednostkach konsekwentnie.

Poprawnie: Odejmij360°.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Cosinus kąta ostrego jest sinusem kąta dopełniającego do90°.
  • Odbicie punktu okręgu w osi Y zmienia współrzędną poziomą.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 02.11.2026.

  1. ZPE: Matematyka — liceum i technikum

    Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym

  2. CKE: Trygonometria

    Zakres źródła: Rozdziały9–10: miara łukowa,wartości szczególne,tożsamości i trójkąty