Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: rozszerzenie

Statystyka

Wariancja

Wariancja mierzy rozrzut danych wokół średniej. Odchylenia dodatnie i ujemne mogłyby się znieść, dlatego najpierw podnosimy je do kwadratu. W tych ćwiczeniach opisujemy cały podany zbiór i dzielimy przez n.

Najważniejsze w skrócie

  • V=((x₁-m)2+...+(xₙ-m)2)nV = ((x₁−m)^2 + ... + (xₙ−m)^2)/n
  • V = średnia kwadratów danych − m2

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Średnia arytmetyczna i kwadraty.

Po tej lekcji

  • Policz rozrzut względem średniej
  • Wykorzystaj równoważny rachunek

Policz rozrzut względem średniej

Zakres: Rozszerzenie

Najpierw średnia, potem różnica każdego wyniku i średniej, następnie kwadrat każdej różnicy. Sumę kwadratów dzielimy przez liczbę wszystkich obserwacji. Powtórzenia występują w sumie tyle razy, ile w danych.

V=((x₁-m)2+...+(xₙ-m)2)nV = ((x₁−m)^2 + ... + (xₙ−m)^2)/n

Kwadraty są nieujemne i rosną przy większym oddaleniu od średniej.

Kiedy stosujemy: n > 0; używamy mianownika n, nie estymatora z n − 1.

Przykłady zastosowania

  • Dla 1,3 średnia 2, wariancja 1.

Źródła: [3].

Wykorzystaj równoważny rachunek

Zakres: Rozszerzenie

Po rozwinięciu kwadratów wariancja jest średnią kwadratów danych minus kwadrat ich średniej. Dodanie stałej do wszystkich danych nie zmienia odchyleń. Pomnożenie danych przez c skaluje wariancję przez c2.

V = średnia kwadratów danych − m2

Wzór skrócony jest przekształceniem definicji, nie inną miarą.

Kiedy stosujemy: Do liczenia dokładnego nie zaokrąglaj średniej zbyt wcześnie.

Przykłady zastosowania

  • V(2x) = 4V(x); V(x + 5) = V(x).

Źródła: [3].

Sprawdź na interaktywnym modelu

Opisujemy cały zbiór danych i dzielimy sumę kwadratów odchyleń przez n.

Wpisz własny zestaw, zachowując powtórzenia. Zmień dane i obserwuj wynik. Wariancję całego zestawu dzielimy przez n.

Od 1 do 24 liczb z zakresu −100…100, do dwóch miejsc po przecinku. Oddzielaj je średnikiem lub spacją.

01234[1]Średnia = 2

Oznaczenia grafiki

  • Każda kropka oznacza jedną podaną obserwację
Powiększenie i przesuwanie

Plus i minus zmieniają powiększenie. Strzałki przesuwają powiększoną grafikę, Home przywraca całość. Możesz użyć przycisków lub klawiatury po ustawieniu fokusu na grafice.

Opis i oznaczenia

Wszystkie obserwacje na wspólnej, równomiernej osi; powtórzenia i bliskie wartości układamy pionowo, zachowując dokładne położenia na osi

  • 0
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • Każda kropka oznacza jedną podaną obserwację
  • Średnia = 2

Pionowa linia przerywana oznacza średnią. Poziome odcinki pokazują odległości obserwacji od średniej, w tej samej skali co oś.

Średnia = 2. Liczba obserwacji n = 3.

Wariancja = Σ(x − średnia)² / n = 2/3 ≈ 0,6667.

Odchylenie standardowe σ = √(2/3) ≈ 0,8165.

Dodanie stałej nie zmienia rozrzutu. Pomnożenie danych przez k mnoży wariancję przez k², a odchylenie przez |k|.

Źródła: [1] [2] [3].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Definicja

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Oblicz wariancję 1,3.

01234Dane

Odchylenia od środka 2 mają równe moduły.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Policz kwadraty odchyleń.

  1. Średnia = 2.
  2. Odchylenia −1 i 1 dają kwadraty 1 i 1.
  3. V=(1+1)2=1.V = (1 + 1)/2 = 1.

Odpowiedź: 1.

Sprawdzenie i interpretacja: Średnia kwadratów 5 minus kwadrat średniej 4 daje 1.

Przećwicz ten zakres

2. Trzy obserwacje

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Oblicz wariancję 1,2,3.

01234Dane

Środkowa obserwacja ma zerowe odchylenie, ale nadal wchodzi do liczby n.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Uwzględnij środkowe zero.

  1. Średnia = 2.
  2. Kwadraty odchyleń: 1,0,1.
  3. V = .

Odpowiedź: .

Sprawdzenie i interpretacja: (1+4+9)3-4=143-4=23.(1 + 4 + 9)/3 − 4 = 14/3 − 4 = 2/3.

Przećwicz ten zakres

3. Wzór skrócony

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Oblicz wariancję 2,4,6,8 wzorem skróconym.

123456789Dane

Położenia wszystkich czterech obserwacji są zachowane na wspólnej osi.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Porównaj dwie średnie.

  1. Średnia = 5, jej kwadrat 25.
  2. Średnia kwadratów =(4+16+36+64)4=30.= (4 + 16 + 36 + 64)/4 = 30.
  3. V = 30 − 25 = 5.

Odpowiedź: 5.

Sprawdzenie i interpretacja: Odchylenia −3,−1,1,3 mają kwadraty sumujące się do20;=5.

Przećwicz ten zakres

4. Bez rozrzutu

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Oblicz wariancję 7,7,7.

678Dane

Stos trzech punktów oznacza trzy identyczne wartości, bez rozrzutu poziomego.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Sprawdź odchylenia.

  1. Średnia = 7.
  2. Każde odchylenie wynosi 0.
  3. V = 0.

Odpowiedź: 0.

Sprawdzenie i interpretacja: Wszystkie obserwacje są jednakowe.

Przećwicz ten zakres

5. Przesunięcie danych

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Dane mają wariancję 5. Do każdego wyniku dodano 10. Jaka jest nowa wariancja?

Zbiór XVar = 5Zbiór YVar = ?Y = 1X + (10)

Zmiana położenia danych nie zmienia ich rozrzutu.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Porównaj odchylenia od nowej średniej.

  1. Średnia też wzrasta o10.
  2. (x + 10) − (m + 10) = x − m.
  3. Kwadraty odchyleń pozostają bez zmiany.

Odpowiedź: 5.

Sprawdzenie i interpretacja: Przesunięcie nie zmienia odległości między danymi.

Przećwicz ten zakres

6. Przeskalowanie danych

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Dane o wariancji 3 pomnożono przez −2. Oblicz nową wariancję.

Zbiór XVar = 3Zbiór YVar = ?Y = -2X + (0)

Odbicie i dwukrotne rozciągnięcie danych mnoży kwadraty odchyleń przez cztery.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Podnieś mnożnik do kwadratu.

  1. Każde odchylenie mnoży się przez −2.
  2. Jego kwadrat rośnie (−2)2 = 4 razy.
  3. Nowa wariancja = 4 · 3 = 12.

Odpowiedź: 12.

Sprawdzenie i interpretacja: Wariancja nie staje się ujemna po zmianie znaku danych.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Wariancja 1,2,3 wynosi (-1+0+1)3=0.(−1 + 0 + 1)/3 = 0.

Dlaczego to błąd: Nie podniesiono odchyleń do kwadratu.

Poprawnie: (1+0+1)3=23.(1 + 0 + 1)/3 = 2/3.

Błędne rozumowanie: Zawsze dzielimy przez n − 1.

Dlaczego to błąd: To inna konwencja estymacji, nie przyjęta w tych zadaniach.

Poprawnie: Dla podanego całego zbioru dziel przez n.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Kwadraty są nieujemne i rosną przy większym oddaleniu od średniej.
  • Wzór skrócony jest przekształceniem definicji, nie inną miarą.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 02.11.2026.

  1. ZPE: Matematyka — liceum i technikum

    Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym

  2. ZPE: Średnia arytmetyczna, średnia ważona, mediana, odchylenie standardowe

    Zakres źródła: Definicje średnich, mediany, wariancji i odchylenia

  3. CKE: Parametry danych statystycznych

    Zakres źródła: Rozdział 15: parametry całego podanego zbioru