Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: rozszerzenie

Wariacje

Wariacja wybiera i ustawia część elementów. Kluczowe pytanie brzmi: czy powtórzenia są dozwolone? W kodzie cyfra może wrócić, a przy obsadzaniu różnych stanowisk ta sama osoba zwykle nie może pełnić dwóch ról.

Najważniejsze w skrócie

$V(n,k) = n!/(n−k)!$
Wariacje z powtórzeniami $: n^k$

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

Reguła mnożenia i silnia.

Po tej lekcji

Wybieraj bez zwracania
Pozostaw cały wybór na każdym etapie

Wybieraj bez zwracania

Zakres: Rozszerzenie

Dla k kolejnych różnych obiektów ze zbioru n-elementowego liczby możliwości maleją: n,n−1,...,n−k+1. Kolejność ma znaczenie, bo obsadzane role lub pozycje są różne.

$V(n,k) = n!/(n−k)!$

To początkowy fragment iloczynu silni.

Kiedy stosujemy: 0 ≤ k ≤ n; wszystkie n obiektów są rozróżnialne.

Przykłady zastosowania

Podium z 8 osób: 8 · 7 · 6.

Źródła: [3].

Pozostaw cały wybór na każdym etapie

Zakres: Rozszerzenie

Gdy obiekt można wybrać ponownie, każda z k pozycji ma n możliwości. Jeżeli zakazano zera na pierwszej pozycji, ten etap trzeba policzyć inną liczbą.

Wariacje z powtórzeniami $: n^k$

Wszystkie pozycje można wybierać niezależnie z tej samej listy.

Kiedy stosujemy: Jeżeli warunki łączą pozycje, rozbij przypadki zamiast automatycznie używać $n^k.$

Przykłady zastosowania

Kod czterocyfrowy: 10⁴.

Źródła: [3].

Sprawdź na interaktywnym modelu

Porównaj AA i AB oraz AB i BA: powtórzenie i kolejność są różnymi cechami wyniku.

Wybieraj elementy rysunku i poznawaj ich własności. To swobodna powtórka bez ocen.

Powiększenie i przesuwanie

Plus i minus zmieniają powiększenie. Strzałki przesuwają powiększoną grafikę, Home przywraca całość. Możesz użyć przycisków lub klawiatury po ustawieniu fokusu na grafice.

Opis i oznaczenia

Drzewo kolejnych wyborów; każdy liść oznacza osobny wynik

A
B
A
A
B
B
Start

Wybierz elementy

A → AA → BB → AB → B

Nie zaznaczono żadnego elementu.

Pomoc do wyboru

Dotknij elementu na rysunku lub wybierz go z listy. Poniżej znajdziesz objaśnienie zaznaczenia.

Wybierz element, aby przeczytać jego opis.

Źródła: [1] [2] [3].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Medale

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Ile podium z trzema miejscami można utworzyć z 8 osób bez remisów?

Każda osoba może zdobyć tylko jedno z trzech różnych miejsc.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Wybierz kolejno medalistów.

Pierwsze miejsce: 8.
Drugie: 7, trzecie: 6.
8 · 7 · 6 = 336.

Odpowiedź: 336.

Sprawdzenie i interpretacja: 8!/5! = 336.

Przećwicz ten zakres

2. Dwie funkcje

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Z 6 osób wybieramy przewodniczącego i zastępcę, różne osoby. Ile możliwości?

Kolumny oznaczają przewodniczącego i zastępcę. AB i BA to różne przydziały ról.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Role są uporządkowane.

Przewodniczący: 6 wyborów.
Zastępca: 5 pozostałych.
6 · 5 = 30.

Odpowiedź: 30.

Sprawdzenie i interpretacja: Para AB w rolach jest inna niż BA.

Przećwicz ten zakres

3. Kod

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Ile kodów długości 4 tworzy 10 cyfr z powtórzeniami?

Każda z czterech pozycji ma tę samą pełną listę dziesięciu cyfr.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Każda pozycja ma 10 wyborów.

Zero z przodu jest w kodzie dozwolone.
Cztery niezależne pozycje dają 10⁴.
Wynik to 10000.

Odpowiedź: 10000.

Sprawdzenie i interpretacja: Kody od 0000 do 9999 tworzą tę liczbę wyników.

Przećwicz ten zakres

4. Liczba

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Ile liczb czterocyfrowych ma cyfry z powtórzeniami?

Pierwsza pozycja nie może być zerem; pozostałe mogą.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Pierwsza pozycja nie może być zerem.

Pierwsza: 9 wyborów.
Pozostałe trzy: po 10.
9 · 10³ = 9000.

Odpowiedź: 9000.

Sprawdzenie i interpretacja: Liczby od 1000 do 9999: 9999 − 1000 + 1 = 9000.

Przećwicz ten zakres

5. Ciągi zero-jedynkowe

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Ile ciągów długości 5 powstaje z 0 i 1?

Pięć niezależnych wyborów po dwa symbole.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Powtórzenia są możliwe.

Każde miejsce ma 2 wybory.
Miejsc jest 5.
2⁵ = 32.

Odpowiedź: 32.

Sprawdzenie i interpretacja: Podwojenie liczby po każdym dopisanym znaku prowadzi 1,2,4,8,16,32.

Przećwicz ten zakres

6. Różne szafki

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Na ile sposobów 3 osoby wybiorą różne szafki spośród 7?

Wybór szafki jednej osoby ogranicza listę dostępną kolejnej.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Przypisz szafki kolejno osobom.

Pierwsza osoba ma 7 wyborów.
Druga 6, trzecia 5.
7 · 6 · 5 = 210.

Odpowiedź: 210.

Sprawdzenie i interpretacja: 7!/4! = 210.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Wybór przewodniczącego i zastępcy to kombinacja.

Dlaczego to błąd: Zamiana osób na rolach daje inny wynik.

Poprawnie: To wariacja bez powtórzeń.

Błędne rozumowanie: Każda liczba czterocyfrowa ma 10 wyborów pierwszej cyfry.

Dlaczego to błąd: Zero nie może zaczynać liczby czterocyfrowej.

Poprawnie: Pierwsza ma 9 wyborów.

Podsumowanie — zapamiętaj

To początkowy fragment iloczynu silni.
Wszystkie pozycje można wybierać niezależnie z tej samej listy.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wariacje — ćwiczenia online

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 02.11.2026.

ZPE: Matematyka — liceum i technikum
Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym
ZPE: Reguła mnożenia, reguła dodawania
Zakres źródła: Etapy wyboru, rozłączne przypadki i permutacje
CKE: Silnia i kombinatoryka
Zakres źródła: Rozdziały 4 i 13: silnia, współczynnik dwumianowy, wariacje i kombinacje