Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: podstawowy i rozszerzenie

Planimetria

Trójkąty i czworokąty

Rozwiązanie zadania planimetrycznego zaczyna się od własności figury. Równe boki, równoległość i kąty proste dają zależności, których nie wolno odczytywać wyłącznie z wyglądu szkicu. W rozszerzeniu łączymy je z odcinkami szczególnymi.

Najważniejsze w skrócie

  • Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy.
  • Dla dwusiecznej AD: BD/DC = AB/AC

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Kąty, pola i Pitagoras.

Po tej lekcji

  • Wybierz własność, która łączy dane
  • Wykorzystaj odcinki szczególne trójkąta

Wybierz własność, która łączy dane

Zakres: Podstawowy

Równe boki trójkąta odpowiadają równym kątom. W równoległoboku przeciwległe boki i kąty są równe, a przekątne dzielą się na połowy. W rombie przekątne są prostopadłe, w prostokącie równe.

Nie wolno odwracać pojedynczej własności bez dodatkowych warunków: same równe przekątne dowolnego czworokąta nie gwarantują prostokąta.

Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy.

Punkt przecięcia przekątnych jest środkiem symetrii równoległoboku.

Kiedy stosujemy: Najpierw potwierdź typ czworokąta.

Przykłady zastosowania

  • Przekątna prostokąta: d2 = a2 + b2.

Źródła: [2].

Wykorzystaj odcinki szczególne trójkąta

Zakres: Rozszerzenie

Środkowe przecinają się w środku ciężkości. Dzieli on każdą środkową w stosunku 2 : 1, licząc od wierzchołka. Dwusieczna kąta wewnętrznego dzieli przeciwległy bok w stosunku przyległych boków.

Dla dwusiecznej AD: BD/DC = AB/AC

Dwa powstałe trójkąty mają pola w stosunku podstaw BD/DC i jednocześnie w stosunku AB/AC, bo kąty przy A mają równe sinusy.

Kiedy stosujemy: D leży na boku BC; długości są dodatnie.

Przykłady zastosowania

  • AB : AC = 3 : 2 → BD : DC = 3 : 2.

Źródła: [2].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Kąty równoramiennego

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Kąt wierzchołkowy trójkąta równoramiennego ma 36°. Podaj pozostałe kąty.

Jak podejść do zadania: Podziel pozostałą sumę.

  1. 180 − 36 = 144°.
  2. Dwa kąty przy podstawie są równe.
  3. 144°/2 = 72°.

Odpowiedź: 72° i 72°.

Sprawdzenie i interpretacja: 36 + 72 + 72 = 180.

Przećwicz ten zakres

2. Przekątna

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Prostokąt ma boki 5 i 12. Oblicz przekątną.

Jak podejść do zadania: Zbuduj trójkąt prostokątny.

  1. d2 = 52 + 122.
  2. d2 = 25 + 144 = 169.
  3. d = 13, bo długość jest dodatnia.

Odpowiedź: 13.

Sprawdzenie i interpretacja: 132 = 169.

Przećwicz ten zakres

3. Romb

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Przekątne rombu mają 6 i 8. Oblicz bok.

Jak podejść do zadania: Wykorzystaj połówki prostopadłych przekątnych.

  1. Połówki przekątnych mają 3 i 4.
  2. Bok jest przeciwprostokątną: a2 = 9 + 16.
  3. a = 5.

Odpowiedź: 5.

Sprawdzenie i interpretacja: Cztery trójkąty 3–4–5 składają się na romb.

Przećwicz ten zakres

4. Środek ciężkości

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Środkowa ma długość 12. Jak dzieli ją środek ciężkości?

Jak podejść do zadania: Zastosuj stosunek 2 : 1.

  1. Całość to trzy równe części.
  2. Jedna ma = 4.
  3. Od wierzchołka są dwie części, czyli 8; do środka boku 4.

Odpowiedź: 8 i 4.

Sprawdzenie i interpretacja: 8 + 4 = 12 oraz = 2.

Przećwicz ten zakres

5. Dwusieczna

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: W trójkącie AB = 9, AC = 6, BC = 10. Dwusieczna AD przecina BC. Oblicz BD i DC.

Jak podejść do zadania: Podziel podstawę w stosunku boków.

  1. BD/DC = = .
  2. 10 dzielimy na 5 części po 2.
  3. BD = 6, DC = 4.

Odpowiedź: BD = 6, DC = 4.

Sprawdzenie i interpretacja: 6 + 4 = 10 i = ; boki 9,6,10 tworzą trójkąt.

Przećwicz ten zakres

6. Długość środkowej

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: W trójkącie boki od A mają 5 i 5, a podstawa BC ma 6. Oblicz środkową z A.

Jak podejść do zadania: W równoramiennym środkowa jest wysokością.

  1. Środek podstawy dzieli 6 na 3 i 3.
  2. m2 = 52 − 32 = 16.
  3. m = 4.

Odpowiedź: 4.

Sprawdzenie i interpretacja: Trójkąty 3–4–5 są przystające.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Przekątna rombu jest równa jego bokowi.

Dlaczego to błąd: Własności rombu nie mówią o takiej równości.

Poprawnie: Bok oblicz z połówek prostopadłych przekątnych.

Błędne rozumowanie: Środek ciężkości dzieli środkową na dwie połowy.

Dlaczego to błąd: Połówką jest środek boku, nie środek ciężkości.

Poprawnie: Podział środkowej wynosi 2 : 1.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Punkt przecięcia przekątnych jest środkiem symetrii równoległoboku.
  • Dwa powstałe trójkąty mają pola w stosunku podstaw BD/DC i jednocześnie w stosunku AB/AC, bo kąty przy A mają równe sinusy.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 23.10.2026.

  1. ZPE: Matematyka — liceum i technikum

    Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym

  2. CKE: Wybrane wzory matematyczne — planimetria

    Zakres źródła: Rozdział 10: trójkąty, okręgi, podobieństwo i pola