Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: podstawowy i rozszerzenie

Trygonometria

Tożsamości trygonometryczne

Tożsamość jest równością prawdziwą dla każdego dopuszczalnego argumentu. Przekształcając ją,zachowuj dziedzinę i kontroluj znaki pierwiastków. Wzory na sumę i podwojony kąt wiążą różne argumenty.

Najważniejsze w skrócie

  • sin2α+cos2α=1;tgα=sinαcosαsin^2α+cos^2α=1;tanα=sinα/cosα
  • sin2α=2sinαcosα;cos2α=cos2α−sin2α

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Sinus,cosinus,tangens i algebra.

Po tej lekcji

  • Użyj równania okręgu jednostkowego
  • Przekształcaj jedną stronę do drugiej

Użyj równania okręgu jednostkowego

Zakres: Podstawowy

Ponieważ punkt(cosα,sinα) leży na okręgu promienia1,suma kwadratów jego współrzędnych wynosi1. Z samego kwadratu nie odczytasz znaku funkcji: potrzebny jest kąt ostry lub ćwiartka.

sin2α+cos2α=1;tgα=sinαcosαsin^2α+cos^2α=1;tanα=sinα/cosα

Pierwsza równość jest równaniem okręgu,druga definicją tangensa.

Kiedy stosujemy: Iloraz wymaga cosα≠0.

Przykłady zastosowania

  • Dla ostregoα i sinα= mamy cosα=.

Źródła: [2].

Przekształcaj jedną stronę do drugiej

Zakres: Rozszerzenie

Wzory sin(α+β)icos(α+β)sin(α+β) i cos(α+β) mają dwa składniki. Dlaβ=α otrzymujemy wzory podwojonego kąta. Przy dowodzie nie zakładaj równości,którą dopiero pokazujesz: przekształć jedną stronę albo obie do wspólnej postaci.

sin2α=2sinαcosα;cos2α=cos2α−sin2α

Podstawienie równych kątów do wzorów sumy daje te relacje.

Kiedy stosujemy: Dziedzina po przekształceniu musi uwzględniać pierwotne mianowniki.

Przykłady zastosowania

  • sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.

Źródła: [2].

Sprawdź na interaktywnym modelu

Zobacz, jak to działa

Zmieniaj kąt. Dodatni zwrot biegnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Punkt po pełnym obrocie wraca w to samo miejsce; zapis kąta zachowuje wszystkie obroty.

xy1−11−1POkrąg o promieniu 1

30° = π/6 rad

Pełne obroty ze znakiem: 0; pozostały kąt: 30°. Kierunek końcowy: 30°.

cos α ≈ 0,866; sin α ≈ 0,5. Są to współrzędne punktu P.

tg α = sin α / cos α ≈ 0,5774.

Źródła: [1] [2].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Znany sinus

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: α ostry,sinα=. Oblicz cosα.

xyOα

α ostry,sinα=3/5. Oblicz cosα.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Zastosuj jedynkę i znak.

  1. cos2α=1-925=1625.cos^2α=1−9/25=16/25.
  2. Dla ostregoα cosα>0.
  3. cosα=.

Odpowiedź: .

Sprawdzenie i interpretacja: +=1.

Przećwicz ten zakres

2. Tangens z obu funkcji

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: sinα=,cosα=. Oblicz tanα.

abcαa = 5b = 12c = 13

sinα=5/13,cosα=12/13. Oblicz tanα.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Podziel wartości.

  1. tgα=(513)(1213).tanα=(5/13)/(12/13).
  2. Mnożymy przez odwrotność.
  3. Wynik.

Odpowiedź: .

Sprawdzenie i interpretacja: 52+122=132.

Przećwicz ten zakres

3. Uproszczenie

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Uprość1−sin2α.

xyOα

Uprość1−sin2α.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Przekształć jedynkę trygonometryczną.

  1. sin2α+cos2α=1.
  2. Odejmujemy sin2α od obu stron.
  3. Pozostaje cos2α.

Odpowiedź: cos2α.

Sprawdzenie i interpretacja: Dodanie sin2α odtwarza1.

Przećwicz ten zakres

4. Podwojony kąt

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: α ostry,sinα=,cosα=. Oblicz sin2α.

xyOα

α ostry,sinα=3/5,cosα=4/5. Oblicz sin2α.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Użyj2sinαcosα.

  1. 2 · · .
  2. Licznik24,mianownik25.
  3. Wartość.

Odpowiedź: .

Sprawdzenie i interpretacja: Wynik mieści się w[−1,1].

Przećwicz ten zakres

5. Kąt75°

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Oblicz dokładnie sin75°.

xyOα

Oblicz dokładnie sin75°.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Zapisz75°=45°+30°.

  1. sin75°=sin45°cos30°+cos45°sin30°.
  2. Podstawiamy22,32i12.√2/2,√3/2 i1/2.
  3. Wynik(6+2)4.(√6+√2)/4.

Odpowiedź: (6+2)4.(√6+√2)/4.

Sprawdzenie i interpretacja: Jest dodatni i mniejszy od1;sin75°=cos15°.

Przećwicz ten zakres

6. Tożsamość ilorazowa

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Udowodnij(1-cos2α)sinα=sinα(1−cos^2α)/sinα=sinα na dziedzinie.

xyOα

Udowodnij(1−cos2α)/sinα=sinα na dziedzinie.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Przekształć lewą stronę.

  1. Dziedzina:sinα≠0.
  2. Licznik1−cos2α=sin2α.
  3. sin2αsinα=sinαsin^2α/sinα=sinα dla dopuszczalnych argumentów.

Odpowiedź: Równość prawdziwa dla sinα≠0.

Sprawdzenie i interpretacja: Pierwotny lewy wzór nadal nie istnieje w zerach sinusa.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Zcos2α=1625Z cos^2α=16/25 zawsze cosα=45.cosα=4/5.

Dlaczego to błąd: Znak zależy od ćwiartki.

Poprawnie: Dla II ćwiartki cosα=−.

Błędne rozumowanie: sin(α+β)=sinα+sinβ.sin(α+β)=sinα+sinβ.

Dlaczego to błąd: Funkcja sinus nie rozdziela się po dodawaniu argumentów.

Poprawnie: Użyj wzoru z cosinusami.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Pierwsza równość jest równaniem okręgu,druga definicją tangensa.
  • Podstawienie równych kątów do wzorów sumy daje te relacje.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 02.11.2026.

  1. ZPE: Matematyka — liceum i technikum

    Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym

  2. CKE: Trygonometria

    Zakres źródła: Rozdziały9–10: miara łukowa,wartości szczególne,tożsamości i trójkąty