Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: podstawowy

Statystyka

Średnia i średnia ważona

Średnia zachowuje łączną wartość danych przy równym podziale. Gdy wyniki mają różne liczebności lub wagi, trzeba uwzględnić ich różny udział. Sama średnia bez liczby danych nie wystarcza do łączenia grup.

Najważniejsze w skrócie

  • średnia = suma danych / n; suma danych = n · średnia
  • średnia ważona = suma iloczynów wyniku i wagi / suma wag

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Działania na ułamkach.

Po tej lekcji

  • Policz sumę i liczbę obserwacji
  • Uwzględnij siłę udziału danych

Policz sumę i liczbę obserwacji

Zakres: Podstawowy

Każde wystąpienie wyniku liczymy osobno. Jeśli średnia n obserwacji wynosi m, suma tych obserwacji jest równa nm. To pozwala odzyskać brakującą wartość.

średnia = suma danych / n; suma danych = n · średnia

Równy podział zachowuje sumę.

Kiedy stosujemy: n > 0; nie usuwaj powtórzeń.

Przykłady zastosowania

  • Średnia z 2,2,8 wynosi 4.

Źródła: [2].

Uwzględnij siłę udziału danych

Zakres: Podstawowy

Ocena z wagą 3 ma taki wpływ jak trzy identyczne wyniki z wagą 1. Dzielimy przez sumę wag, nie liczbę różnych wyników. Wagi mogą być ułamkowe i nie muszą sumować się do 1.

średnia ważona = suma iloczynów wyniku i wagi / suma wag

Przeskalowanie wszystkich wag tym samym dodatnim czynnikiem nie zmienia średniej.

Kiedy stosujemy: Wagi są nieujemne i przynajmniej jedna dodatnia.

Przykłady zastosowania

  • Wyniki 4 i 6 z wagami 1 i 3 dają 5,5.

Źródła: [2].

Sprawdź na interaktywnym modelu

Zmieniaj wartości i wagi; mianownikiem jest suma wag.

Wpisz własny zestaw, zachowując powtórzenia. Zmień dane i obserwuj wynik. Wariancję całego zestawu dzielimy przez n.

Od 1 do 24 liczb z zakresu −100…100, do dwóch miejsc po przecinku. Oddzielaj je średnikiem lub spacją. Każdej liczbie przypisz wagę całkowitą od 1 do 100.

34567w=1w=3[1]

Oznaczenia grafiki

  • Każda kropka oznacza jedną podaną obserwację
Powiększenie i przesuwanie

Plus i minus zmieniają powiększenie. Strzałki przesuwają powiększoną grafikę, Home przywraca całość. Możesz użyć przycisków lub klawiatury po ustawieniu fokusu na grafice.

Opis i oznaczenia

Wszystkie obserwacje na wspólnej, równomiernej osi; powtórzenia i bliskie wartości układamy pionowo, zachowując dokładne położenia na osi

  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • w=1
  • w=3
  • Każda kropka oznacza jedną podaną obserwację

Suma iloczynów wartości i wag: 22; suma wag: 4.

Średnia ważona = 11/2 ≈ 5,5.

Wagi równe 1 dają zwykłą średnią arytmetyczną.

Źródła: [1] [2] [3].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Średnia

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Oblicz średnią 3,5,7,9.

2345678910Dane

Cztery obserwacje na jednej osi; średnia jest punktem równowagi.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Zsumuj wszystkie dane.

  1. Suma to 24.
  2. Danych jest 4.
  3. = 6.

Odpowiedź: 6.

Sprawdzenie i interpretacja: 4 · 6 = 24.

Przećwicz ten zakres

2. Tabela liczebności

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Wynik 2 uzyskano 3 razy, a 5 dwa razy. Oblicz średnią.

123456Dane

Każde wystąpienie wyniku jest osobnym punktem; powtórzeń nie usuwamy.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Odtwórz sumę przez liczebności.

  1. Suma = 2 · 3 + 5 · 2 = 16.
  2. Liczba wyników = 3 + 2 = 5.
  3. Średnia = = 3,2.

Odpowiedź: 3,2.

Sprawdzenie i interpretacja: Lista 2,2,2,5,5 ma sumę 16.

Przećwicz ten zakres

3. Różne wagi

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Wyniki 4 i 6 mają wagi 1 i 3. Oblicz średnią ważoną.

34567w=1w=3Dane

Podane wagi opisują wpływ wartości, nie ich położenie na osi.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Podziel ważoną sumę przez sumę wag.

  1. 4 · 1 + 6 · 3 = 22.
  2. Suma wag = 4.
  3. = 5,5.

Odpowiedź: 5,5.

Sprawdzenie i interpretacja: Lista 4,6,6,6 ma tę samą średnią.

Przećwicz ten zakres

4. Brakująca obserwacja

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Średnia 5 liczb wynosi 8. Cztery z nich to 3,7,9,10. Znajdź piątą.

A37910?

Pięć obserwacji ma średnią 8; brakujący element pozostaje niewiadomą.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Odtwórz sumę.

  1. Suma wszystkich = 5 · 8 = 40.
  2. Suma znanych = 29.
  3. Brakująca = 40 − 29 = 11.

Odpowiedź: 11.

Sprawdzenie i interpretacja: (3+7+9+10+11)5=8.(3 + 7 + 9 + 10 + 11)/5 = 8.

Przećwicz ten zakres

5. Łączenie grup

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: 10 osób ma średnio 6 punktów, 20 osób średnio 9. Oblicz średnią łączną.

5678910w=10w=20Dane

Każda średnia grupy ma wagę równą liczbie osób w tej grupie.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Waż średnie liczebnościami.

  1. Suma punktów = 10 · 6 + 20 · 9 = 240.
  2. Liczba osób = 30.
  3. = 8.

Odpowiedź: 8.

Sprawdzenie i interpretacja: Grupa ze średnią 9 jest dwukrotnie liczniejsza i ma dwukrotną wagę.

Przećwicz ten zakres

6. Stała zmiana danych

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Każdą z 8 obserwacji zwiększono o 3. Jak zmieniła się średnia?

Zbiór Xśrednia = mZbiór Yśrednia = ?Y = 1X + (3)

Dodanie trzech do każdej obserwacji przesuwa również punkt równowagi o trzy.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Porównaj sumy.

  1. Suma rośnie o 8 · 3 = 24.
  2. Dzielimy ją nadal przez 8.
  3. Średnia rośnie o = 3.

Odpowiedź: Wzrosła o 3.

Sprawdzenie i interpretacja: Dla dowolnego n: (suma +3n)n=+ 3n)/n = stara średnia + 3.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Średnią ważoną dzielimy przez liczbę ocen.

Dlaczego to błąd: Mianownik musi uwzględniać wagi.

Poprawnie: Dziel przez sumę wag.

Błędne rozumowanie: Średnia dwóch grup to średnia ich średnich.

Dlaczego to błąd: To działa tylko dla równych liczebności.

Poprawnie: Zważ średnie liczbami obserwacji.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Równy podział zachowuje sumę.
  • Przeskalowanie wszystkich wag tym samym dodatnim czynnikiem nie zmienia średniej.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 02.11.2026.

  1. ZPE: Matematyka — liceum i technikum

    Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym

  2. ZPE: Średnia arytmetyczna, średnia ważona, mediana, odchylenie standardowe

    Zakres źródła: Definicje średnich, mediany, wariancji i odchylenia

  3. CKE: Parametry danych statystycznych

    Zakres źródła: Rozdział 15: parametry całego podanego zbioru