Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: podstawowy i rozszerzenie

Trygonometria

Sinus, cosinus i tangens

Dla kąta ostrego funkcje trygonometryczne są stosunkami długości boków trójkąta prostokątnego. W rozszerzeniu definicja na okręgu jednostkowym obejmuje wszystkie kąty. Nazwy boków zawsze odnoszą się do wybranego kąta.

Najważniejsze w skrócie

  • sinα=ac;cosα=bc;tgα=absin α=a/c;cos α=b/c;tan α=a/b
  • tgα=sinαcosαtan α=sin α/cos α

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Podobieństwo i Pitagoras.

Po tej lekcji

  • Nazwij boki względem kąta
  • Rozszerz definicję na pełne obroty

Nazwij boki względem kąta

Zakres: Podstawowy

Przeciwprostokątna jest naprzeciw90°. Dlaα przyprostokątna naprzeciw to a,a przyległa to b. Po zmianie kąta na drugi ostry role a i b się zamieniają.

sinα=ac;cosα=bc;tgα=absin α=a/c;cos α=b/c;tan α=a/b

Podobne trójkąty mają te same stosunki odpowiadających boków.

Kiedy stosujemy: α ostry,trójkąt prostokątny,c przeciwprostokątna.

Przykłady zastosowania

  • Dla a=3,b=4,c=5:sinα=.
bacα

Trójkąt prostokątny: przy kącie α pozioma przyprostokątna b,naprzeciw α pionowa a,przeciwprostokątna c.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Źródła: [2].

Rozszerz definicję na pełne obroty

Zakres: Rozszerzenie

Punkt uzyskany obrotem oα na okręgu promienia1 ma współrzędne(cosα,sinα). Cosinus jest więc współrzędną poziomą,a sinus pionową. Tangens istnieje tylko przy niezerowym cosinusie.

tgα=sinαcosαtan α=sin α/cos α

Iloraz współrzędnych zgadza się ze stosunkiem boków dla kąta ostrego.

Kiedy stosujemy: cosα≠0;w radianachα≠π/2+kπ.

Przykłady zastosowania

  • Punkt(−1,0) odpowiadaα=π.

Źródła: [2].

Sprawdź na interaktywnym modelu

Zobacz, jak to działa

Zmieniaj kąt. Dodatni zwrot biegnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Punkt po pełnym obrocie wraca w to samo miejsce; zapis kąta zachowuje wszystkie obroty.

xy1−11−1POkrąg o promieniu 1

30° = π/6 rad

Pełne obroty ze znakiem: 0; pozostały kąt: 30°. Kierunek końcowy: 30°.

cos α ≈ 0,866; sin α ≈ 0,5. Są to współrzędne punktu P.

tg α = sin α / cos α ≈ 0,5774.

Źródła: [1] [2].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Trzy funkcje

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Przy kącieα bok naprzeciw ma3,przyległy4,przeciwprostokątna5. Podaj trzy funkcje.

abcαa = 3b = 4c = 5

Przy kącieα bok naprzeciw ma3,przyległy4,przeciwprostokątna5. Podaj trzy funkcje.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Utwórz właściwe ilorazy.

  1. sinα=.
  2. cosα=.
  3. tanα=.

Odpowiedź: ,,.

Sprawdzenie i interpretacja: (35)2+(45)2=1.(3/5)^2+(4/5)^2=1.

Przećwicz ten zakres

2. Bok naprzeciw

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Przeciwprostokątna ma10,sinα=. Oblicz bok naprzeciwα.

abcαa = ?c = 10

Przeciwprostokątna ma10,sinα=3/5. Oblicz bok naprzeciwα.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Przekształć sinα=ac.sinα=a/c.

  1. a=csinα.
  2. a=10 · .
  3. a=6.

Odpowiedź: 6.

Sprawdzenie i interpretacja: =.

Przećwicz ten zakres

3. Bok przyległy

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Bok naprzeciwα ma6,tanα=. Oblicz przyległy.

abcαa = 6b = ?

Bok naprzeciwα ma6,tanα=3/4. Oblicz przyległy.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Rozwiąż6b=34.6/b=3/4.

  1. 6 · 4=3b.
  2. 24=3b.
  3. b=8.

Odpowiedź: 8.

Sprawdzenie i interpretacja: =.

Przećwicz ten zakres

4. Współrzędne

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Punkt okręgu jednostkowego dlaα to(−,). Podaj sinα,cosα,tanα.

xyOα

Punkt okręgu jednostkowego dlaα to(−3/5,4/5). Podaj sinα,cosα,tanα.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Odczytaj pionową i poziomą współrzędną.

  1. cosα=−,sinα=.
  2. tgα=(45)(-35).tanα=(4/5)/(−3/5).
  3. tanα=−.

Odpowiedź: sinα=,cosα=−,tanα=−.

Sprawdzenie i interpretacja: +=1.

Przećwicz ten zakres

5. Wykluczony kąt

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Czy tg(π2)tan(π/2) istnieje?

xyOπ/2

Czy tan(π/2) istnieje?

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Sprawdź mianownik.

  1. sin(π2)=1.sin(π/2)=1.
  2. cos(π2)=0.cos(π/2)=0.
  3. Iloraz jest niedozwolony.

Odpowiedź: Nie.

Sprawdzenie i interpretacja: Na okręgu odpowiada punkt(0,1).

Przećwicz ten zakres

6. Półobrót

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Podaj sinπ i cosπ.

xyOπ

Podaj sinπ i cosπ.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Odczytaj punkt po półobrocie.

  1. Punkt startowy to(1,0).
  2. Po półobrocie otrzymujemy(−1,0).
  3. Pozioma to cos,a pionowa sin.

Odpowiedź: sinπ=0,cosπ=−1.

Sprawdzenie i interpretacja: sin2π+cos2π=1.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Sinus to zawsze krótszy bok przez dłuższy.

Dlaczego to błąd: Nazwa zależy od położenia względemα.

Poprawnie: Wybierz bok naprzeciwα i przeciwprostokątną.

Błędne rozumowanie: tg(π2)=0.tan(π/2)=0.

Dlaczego to błąd: Cosinus w mianowniku jest0.

Poprawnie: Tangens jest nieokreślony.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Podobne trójkąty mają te same stosunki odpowiadających boków.
  • Iloraz współrzędnych zgadza się ze stosunkiem boków dla kąta ostrego.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 02.11.2026.

  1. ZPE: Matematyka — liceum i technikum

    Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym

  2. CKE: Trygonometria

    Zakres źródła: Rozdziały9–10: miara łukowa,wartości szczególne,tożsamości i trójkąty