Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: podstawowy

Trygonometria

Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych

Rozwiązanie trójkąta oznacza wyznaczenie brakujących boków i kątów. Najpierw zaznacz kąt prosty,przeciwprostokątną i dany kąt ostry. Wybierz stosunek łączący znany bok ze szukanym.

Najważniejsze w skrócie

  • Przeciwprostokątna leży naprzeciw90°.
  • α+β=90°

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Sinus,cosinus,tangens i Pitagoras.

Po tej lekcji

  • Dobierz najkrótszą zależność
  • Sprawdź długości i sumę kątów

Dobierz najkrótszą zależność

Zakres: Podstawowy

Jeśli znasz przeciwprostokątną i szukasz boku naprzeciw kąta,użyj sinusa. Dla przyległego użyj cosinusa. Tangens łączy obie przyprostokątne bez przeciwprostokątnej.

Przeciwprostokątna leży naprzeciw90°.

Ta nazwa nie zmienia się po wyborze drugiego kąta ostrego.

Kiedy stosujemy: Przed rachunkiem sprawdź jednostkę kąta.

Przykłady zastosowania

  • a=csinα;b=ccosα.
bacα

Trójkąt prostokątny: przy kącie α pozioma przyprostokątna b,naprzeciw α pionowa a,przeciwprostokątna c.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Źródła: [2].

Sprawdź długości i sumę kątów

Zakres: Podstawowy

Dwa kąty ostre sumują się do90°. Gdy wyznaczasz kąt ze stosunku boków,wybierz jedyne rozwiązanie w(0°,90°). W zadaniach praktycznych ustal,czy podana długość jest wysokością,czy bokiem skośnym.

α+β=90°

Trzeci kąt wynosi90°,a suma wszystkich180°.

Kiedy stosujemy: Długości muszą tworzyć trójkąt prostokątny i być dodatnie.

Przykłady zastosowania

  • Jeśli sinα= iα ostry,toα=30°.

Źródła: [2].

Sprawdź na interaktywnym modelu

Zobacz, jak to działa

Zmieniaj kąt. Dodatni zwrot biegnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Punkt po pełnym obrocie wraca w to samo miejsce; zapis kąta zachowuje wszystkie obroty.

xy1−11−1POkrąg o promieniu 1

30° = π/6 rad

Pełne obroty ze znakiem: 0; pozostały kąt: 30°. Kierunek końcowy: 30°.

cos α ≈ 0,866; sin α ≈ 0,5. Są to współrzędne punktu P.

tg α = sin α / cos α ≈ 0,5774.

Źródła: [1] [2].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Naprzeciw30°

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Przeciwprostokątna ma10 cm,kąt ostry30°. Oblicz bok naprzeciw tego kąta.

abc30°a = ?c = 10

Przeciwprostokątna ma10 cm,kąt ostry30°. Oblicz bok naprzeciw tego kąta.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Użyj sinusa.

  1. a=10sin30°.
  2. sin30°=.
  3. a=5 cm.

Odpowiedź: 5 cm.

Sprawdzenie i interpretacja: Bok naprzeciw30° jest połową przeciwprostokątnej.

Przećwicz ten zakres

2. Przy kącie60°

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Przeciwprostokątna ma12 cm,kąt60°. Oblicz przyprostokątną przyległą.

abc60°b = ?c = 12

Przeciwprostokątna ma12 cm,kąt60°. Oblicz przyprostokątną przyległą.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Użyj cosinusa.

  1. b=12cos60°.
  2. cos60°=.
  3. b=6 cm.

Odpowiedź: 6 cm.

Sprawdzenie i interpretacja: Druga przyprostokątna636√3 daje36+108=144.

Przećwicz ten zakres

3. Dwie przyprostokątne

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Przy kącie45° bok przyległy ma7 cm. Oblicz naprzeciwległy.

abc45°a = ?b = 7

Przy kącie45° bok przyległy ma7 cm. Oblicz naprzeciwległy.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Użyj tangensa.

  1. tg45°=a7.tan45°=a/7.
  2. tan45°=1.
  3. a=7 cm.

Odpowiedź: 7 cm.

Sprawdzenie i interpretacja: Trójkąt45°–45°–90° ma równe przyprostokątne.

Przećwicz ten zakres

4. Kąt z połowy

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Przyprostokątna naprzeciwα ma4,a przeciwprostokątna8. Oblicz oba ostre kąty w stopniach.

abcαa = 4c = 8

Przyprostokątna naprzeciwα ma4,a przeciwprostokątna8. Oblicz oba ostre kąty w stopniach.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Wyznacz sinusα.

  1. sinα==.
  2. α ostry,więcα=30°.
  3. β=90°−30°=60°.

Odpowiedź: 30° i60°.

Sprawdzenie i interpretacja: Ich suma90°,a stosunek boków zgadza się z sin30°.

Przećwicz ten zakres

5. Drabina pod kątem

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Drabina8 m tworzy z ziemią60°. Na jaką wysokość sięga?

abc60°a = hc = 8 m

Drabina8 m tworzy z ziemią60°. Na jaką wysokość sięga?

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Wysokość jest naprzeciw kąta z ziemią.

  1. h=8sin60°.
  2. sin60°=32.sin60°=√3/2.
  3. h=43m.h=4√3 m.

Odpowiedź: 43m.4√3 m.

Sprawdzenie i interpretacja: Odległość stopy od ściany4m;42+(43)2=64.4 m;4^2+(4√3)^2=64.

Przećwicz ten zakres

6. Cień

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Drzewo rzuca cień10 m,kąt promieni z ziemią30°. Oblicz wysokość.

abc30°a = hb = 10 m

Drzewo rzuca cień10 m,kąt promieni z ziemią30°. Oblicz wysokość.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Użyj tangensa z przyprostokątnych.

  1. tg30°=h10.tan30°=h/10.
  2. tg30°=33.tan30°=√3/3.
  3. h=1033m.h=10√3/3 m.

Odpowiedź: 1033m.10√3/3 m.

Sprawdzenie i interpretacja: Wysokość jest mniejsza od cienia,bo kąt mniejszy od45°.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Drabina jest wysokością w zadaniu.

Dlaczego to błąd: Drabina jest skośną przeciwprostokątną.

Poprawnie: Wysokość to jej pionowy rzut.

Błędne rozumowanie: Każde rozwiązanie sinα= jest dopuszczalne.

Dlaczego to błąd: Kąt trójkąta prostokątnego jest ostry.

Poprawnie: Wybierz30°,nie150°.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Ta nazwa nie zmienia się po wyborze drugiego kąta ostrego.
  • Trzeci kąt wynosi90°,a suma wszystkich180°.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 02.11.2026.

  1. ZPE: Matematyka — liceum i technikum

    Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym

  2. CKE: Trygonometria

    Zakres źródła: Rozdziały9–10: miara łukowa,wartości szczególne,tożsamości i trójkąty