Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: rozszerzenie

Równania trygonometryczne

Rozwiązania trygonometryczne powtarzają się okresowo. Najpierw rozwiąż równanie dla samego argumentu funkcji,potem wróć do niewiadomej. Podaj wszystkie rodziny albo wszystkie punkty w zadanym przedziale.

Najważniejsze w skrócie

k∈Z koduje wszystkie całkowite obroty.
Iloczyn0 oznacza co najmniej jeden czynnik równy0.

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

Kąty szczególne,tożsamości i okresy.

Po tej lekcji

Wypisz każdą rodzinę i jej okres
Nie dziel przez czynnik bez sprawdzenia zera

Wypisz każdą rodzinę i jej okres

Zakres: Rozszerzenie

Dla sinx=sinα istnieją dwie rodziny:x=α+2kπ oraz x=π−α+2kπ. Dla cosx=cosα rodziny mają±α+2kπ. Tangens potrzebuje jednej rodzinyα+kπ.

Na ograniczonym przedziale podstawiaj całkowite k i odrzuć punkty poza jego końcami.

k∈Z koduje wszystkie całkowite obroty.

Pominięcie drugiej rodziny sinusa lub cosinusa gubi rozwiązania.

Kiedy stosujemy: W tej lekcji argumenty są w radianach.

Przykłady zastosowania

sinx=→π/6+2kπ lub5π/6+2kπ.

Źródła: [2].

Nie dziel przez czynnik bez sprawdzenia zera

Zakres: Rozszerzenie

Dla $sin(2x)=0$ najpierw2x=kπ,potem $x=kπ/2.$ Dla iloczynu rozdziel przypadki zerowych czynników. Podzielenie przez sinx usunęłoby jego zera. W równaniach z tangensem zachowaj wykluczone argumenty.

Iloczyn0 oznacza co najmniej jeden czynnik równy0.

Alternatywa przypadków zachowuje wszystkie rozwiązania.

Kiedy stosujemy: Po przekształceniu sprawdź pierwotną dziedzinę.

Przykłady zastosowania

sinx(2cosx−1)=0 rozpatruj przez dwie gałęzie.

Źródła: [2].

Sprawdź na interaktywnym modelu

Zobacz, jak to działa

Zmieniaj współczynnik i przesunięcia, aby obserwować wykres. Punkt P pokazuje wartość dla wybranego argumentu. Model służy do swobodnego sprawdzania zależności, bez oceny.

Współczynnik a (różny od zera)Przesunięcie poziome p: 0Przesunięcie pionowe q: 0Argument punktu P: 1

Powiększenie i przesuwanie

Plus i minus zmieniają powiększenie. Strzałki przesuwają powiększoną grafikę, Home przywraca całość. Możesz użyć przycisków lub klawiatury po ustawieniu fokusu na grafice.

Opis i oznaczenia

y = sin(x). Zaznaczony argument x = 1.

P: (1; 0,84)

Punkty wykresu w tabeli

Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku

x: -6
y: 0,28

x: -5,88
y: 0,4

x: -5,75
y: 0,51

x: -5,63
y: 0,61

Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku
x	y
-6	0,28
-5,88	0,4
-5,75	0,51
-5,63	0,61

Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku
x	y
-6	0,28
-5,88	0,4
-5,75	0,51
-5,63	0,61
-5,5	0,71
-5,38	0,79
-5,25	0,86
-5,13	0,92
-5	0,96
-4,88	0,99
-4,75	1
-4,63	1
-4,5	0,98
-4,38	0,94
-4,25	0,89
-4,13	0,83
-4	0,76
-3,88	0,67
-3,75	0,57
-3,63	0,46
-3,5	0,35
-3,38	0,23
-3,25	0,11
-3,13	-0,02
-3	-0,14
-2,88	-0,26
-2,75	-0,38
-2,63	-0,49
-2,5	-0,6
-2,38	-0,69
-2,25	-0,78
-2,13	-0,85
-2	-0,91
-1,88	-0,95
-1,75	-0,98
-1,63	-1
-1,5	-1
-1,38	-0,98
-1,25	-0,95
-1,13	-0,9
-1	-0,84
-0,88	-0,77
-0,75	-0,68
-0,63	-0,59
-0,5	-0,48
-0,38	-0,37
-0,25	-0,25
-0,13	-0,12
0	0
0,13	0,12
0,25	0,25
0,38	0,37
0,5	0,48
0,63	0,59
0,75	0,68
0,88	0,77
1	0,84
1,13	0,9
1,25	0,95
1,38	0,98
1,5	1
1,63	1
1,75	0,98
1,88	0,95
2	0,91
2,13	0,85
2,25	0,78
2,38	0,69
2,5	0,6
2,63	0,49
2,75	0,38
2,88	0,26
3	0,14
3,13	0,02
3,25	-0,11
3,38	-0,23
3,5	-0,35
3,63	-0,46
3,75	-0,57
3,88	-0,67
4	-0,76
4,13	-0,83
4,25	-0,89
4,38	-0,94
4,5	-0,98
4,63	-1
4,75	-1
4,88	-0,99
5	-0,96
5,13	-0,92
5,25	-0,86
5,38	-0,79
5,5	-0,71
5,63	-0,61
5,75	-0,51
5,88	-0,4
6	-0,28

Punkty wykresu w tabeli

Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku

x: -6
y: 0,28

x: -5,88
y: 0,4

x: -5,75
y: 0,51

x: -5,63
y: 0,61

Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku
x	y
-6	0,28
-5,88	0,4
-5,75	0,51
-5,63	0,61

Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku
x	y
-6	0,28
-5,88	0,4
-5,75	0,51
-5,63	0,61
-5,5	0,71
-5,38	0,79
-5,25	0,86
-5,13	0,92
-5	0,96
-4,88	0,99
-4,75	1
-4,63	1
-4,5	0,98
-4,38	0,94
-4,25	0,89
-4,13	0,83
-4	0,76
-3,88	0,67
-3,75	0,57
-3,63	0,46
-3,5	0,35
-3,38	0,23
-3,25	0,11
-3,13	-0,02
-3	-0,14
-2,88	-0,26
-2,75	-0,38
-2,63	-0,49
-2,5	-0,6
-2,38	-0,69
-2,25	-0,78
-2,13	-0,85
-2	-0,91
-1,88	-0,95
-1,75	-0,98
-1,63	-1
-1,5	-1
-1,38	-0,98
-1,25	-0,95
-1,13	-0,9
-1	-0,84
-0,88	-0,77
-0,75	-0,68
-0,63	-0,59
-0,5	-0,48
-0,38	-0,37
-0,25	-0,25
-0,13	-0,12
0	0
0,13	0,12
0,25	0,25
0,38	0,37
0,5	0,48
0,63	0,59
0,75	0,68
0,88	0,77
1	0,84
1,13	0,9
1,25	0,95
1,38	0,98
1,5	1
1,63	1
1,75	0,98
1,88	0,95
2	0,91
2,13	0,85
2,25	0,78
2,38	0,69
2,5	0,6
2,63	0,49
2,75	0,38
2,88	0,26
3	0,14
3,13	0,02
3,25	-0,11
3,38	-0,23
3,5	-0,35
3,63	-0,46
3,75	-0,57
3,88	-0,67
4	-0,76
4,13	-0,83
4,25	-0,89
4,38	-0,94
4,5	-0,98
4,63	-1
4,75	-1
4,88	-0,99
5	-0,96
5,13	-0,92
5,25	-0,86
5,38	-0,79
5,5	-0,71
5,63	-0,61
5,75	-0,51
5,88	-0,4
6	-0,28

y = sin(x)

f(1) ≈ 0,8415. Rysunek pokazuje tylko widoczny fragment wykresu; wartości poza ramką nadal mogą należeć do zbioru wartości.

Źródła: [1] [2].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Dwie rodziny

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Rozwiąż sinx= w R,radiany.

Rozwiąż sinx=1/2 w R,radiany.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Odczytaj dwa kąty jednego okresu.

W[0,2π) sąπ/6 i5π/6.
Sinus ma okres2π.
Dodajemy2kπ do obu,k∈Z.

Odpowiedź: x=π/6+2kπ lub5π/6+2kπ,k∈Z.

Sprawdzenie i interpretacja: Obie rodziny mają sinus.

Przećwicz ten zakres

2. Jedna rodzina

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Rozwiąż tanx=1,radiany.

Rozwiąż tanx=1,radiany.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Użyj okresuπ.

W podstawowym zakresie x=π/4.
Tangens powtarza się coπ.
x=π/4+kπ.

Odpowiedź: π/4+kπ,k∈Z.

Sprawdzenie i interpretacja: W tych punktach cosx≠0.

Przećwicz ten zakres

3. Przedział

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Rozwiąż cosx= na[0,2π],radiany.

Rozwiąż cosx=1/2 na[0,2π],radiany.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Wybierz dwie ćwiartki dodatniego cosinusa.

Kąt odniesieniaπ/3.
Rozwiązaniaπ/3 i2π−π/3=5π/3.
Końce0 i2π dają1,więc nie pasują.

Odpowiedź: {π/3,5π/3}.

Sprawdzenie i interpretacja: Cosinus obu kątów wynosi.

Przećwicz ten zakres

4. Dwa razy argument

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Rozwiąż $sin(2x)=0,$ radiany.

Rozwiąż sin(2x)=0,radiany.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Najpierw rozwiąż dla2x.

Sinus znika dla argumentu kπ.
2x=kπ.
x=kπ/2.

Odpowiedź: kπ/2,k∈Z.

Sprawdzenie i interpretacja: $sin(2 · kπ/2)=$ sinkπ=0.

Przećwicz ten zakres

5. Iloczyn

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Rozwiąż sinx(2cosx−1)=0,radiany.

Rozwiąż sinx(2cosx−1)=0,radiany.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Rozdziel zerowe czynniki.

sinx=0 daje x=kπ.
2cosx−1=0 daje cosx=.
Druga gałąź:x=±π/3+2kπ.

Odpowiedź: x=kπ lub x=±π/3+2kπ,k∈Z.

Sprawdzenie i interpretacja: Każdy kandydat zeruje co najmniej jeden czynnik.

Przećwicz ten zakres

6. Dziedzina ilorazu

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Rozwiąż sinx $/$ cosx=0,radiany.

Rozwiąż sinx/cosx=0,radiany.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Sprawdź licznik i mianownik.

Wymagamy cosx≠0.
sinx=0 daje x=kπ.
W tych punktach cosx=±1,więc wszystkie pasują.

Odpowiedź: kπ,k∈Z.

Sprawdzenie i interpretacja: Żadne z wykluczeńπ/2+kπ nie trafiło do rozwiązania.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: sinx= daje tylkoπ/6+2kπ.

Dlaczego to błąd: Brakuje rodziny w II ćwiartce.

Poprawnie: Dodaj5π/6+2kπ.

Błędne rozumowanie: Z iloczynu sinx(2cosx−1)=0 dzielimy przez sinx.

Dlaczego to błąd: Usunięto wszystkie zera sinusa.

Poprawnie: Rozdziel na dwie gałęzie.

Podsumowanie — zapamiętaj

Pominięcie drugiej rodziny sinusa lub cosinusa gubi rozwiązania.
Alternatywa przypadków zachowuje wszystkie rozwiązania.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Równania trygonometryczne — ćwiczenia online

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 02.11.2026.

ZPE: Matematyka — liceum i technikum
Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym
CKE: Trygonometria
Zakres źródła: Rozdziały9–10: miara łukowa,wartości szczególne,tożsamości i trójkąty