Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: podstawowy

Geometria analityczna

Równania okręgów

Równanie okręgu zapisuje stałą odległość od środka. Kwadraty w postaci kanonicznej pozwalają odczytać środek i promień. W postaci ogólnej odtwarzamy je przez dopełnianie kwadratów.

Najważniejsze w skrócie

  • (x − a)2 + (y − b)2 = r2
  • x2+y2+x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 → środek (-D2,-E2)(−D/2,−E/2)

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Odległość punktów i wzory skróconego mnożenia.

Po tej lekcji

  • Odczytaj odległość od środka
  • Dopełnij kwadraty i sprawdź promień

Odczytaj odległość od środka

Zakres: Podstawowy

Dla środka (a,b) każdy punkt okręgu ma od niego odległość r. Po podniesieniu wzoru odległości do kwadratu otrzymujemy równanie. Znaki w nawiasach są przeciwne do współrzędnych środka.

(x − a)2 + (y − b)2 = r2

Suma kwadratów różnic to kwadrat odległości.

Kiedy stosujemy: r > 0; prawa strona jest kwadratem promienia.

Przykłady zastosowania

  • (x − 2)2 + (y + 3)2 = 25 ma środek (2,−3), r = 5.

Źródła: [2].

Dopełnij kwadraty i sprawdź promień

Zakres: Podstawowy

Wyrażenie x2 − 4x zastępujemy przez (x − 2)2 − 4. Te odejmowane stałe trzeba przenieść na prawą stronę. Zerowe r2 opisuje jeden punkt, ujemne nie daje punktów rzeczywistych.

Styczna ma ze środkiem odległość r.

x2+y2+x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 → środek (-D2,-E2)(−D/2,−E/2)

Warunek rzeczywistego okręgu zależy od r2=(D2+E2)4-F.r^2 = (D^2 + E^2)/4 − F.

Kiedy stosujemy: Współczynniki x2 i y2 muszą być jednakowe i bez wyrazu xy.

Przykłady zastosowania

  • x2 + y2 − 4x + 6y − 12 = 0 → r2 = 25.

Źródła: [2].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Odczyt

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Podaj środek i promień (x − 2)2 + (y + 3)2 = 25.

Jak podejść do zadania: Porównaj z postacią kanoniczną.

  1. a = 2, b = −3.
  2. r2 = 25.
  3. r = 5.

Odpowiedź: Środek (2,−3), promień 5.

Sprawdzenie i interpretacja: Współrzędne środka zerują oba nawiasy.

Przećwicz ten zakres

2. Zapis

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Zapisz okrąg o środku (−1,4) i promieniu 3.

Jak podejść do zadania: Podstaw środek i kwadrat promienia.

  1. x − (−1) = x + 1.
  2. y − 4 pozostaje.
  3. r2 = 9.

Odpowiedź: (x + 1)2 + (y − 4)2 = 9.

Sprawdzenie i interpretacja: Punkt (2,4) leży 3 jednostki od środka i spełnia równanie.

Przećwicz ten zakres

3. Czy punkt należy?

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Czy (3,4) leży na x2 + y2 = 25?

Jak podejść do zadania: Podstaw współrzędne.

  1. 32 + 42 = 9 + 16.
  2. Suma wynosi 25.
  3. Jest równa prawej stronie.

Odpowiedź: Tak.

Sprawdzenie i interpretacja: Odległość od środka (0,0) wynosi 5.

Przećwicz ten zakres

4. Dopełnianie kwadratów

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Wyznacz środek i promień x2 + y2 − 4x + 6y − 12 = 0.

Jak podejść do zadania: Pogrupuj x i y.

  1. x2 − 4x = (x − 2)2 − 4.
  2. y2 + 6y = (y + 3)2 − 9.
  3. Po zebraniu stałych: (x − 2)2 + (y + 3)2 = 25.

Odpowiedź: Środek (2,−3), r = 5.

Sprawdzenie i interpretacja: Rozwinięcie kwadratów odtwarza pierwotne równanie.

Przećwicz ten zakres

5. Brak okręgu

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Co opisuje x2 + y2 + 1 = 0 w rzeczywistej płaszczyźnie?

Jak podejść do zadania: Sprawdź nieujemność kwadratów.

  1. x2 + y2 = −1.
  2. Lewa strona jest nieujemna.
  3. Nie ma żadnej pary rzeczywistych spełniającej równanie.

Odpowiedź: Zbiór pusty.

Sprawdzenie i interpretacja: Promień nie może mieć kwadratu −1.

Przećwicz ten zakres

6. Prosta styczna

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Okrąg ma środek (0,0) i r = 3. Czy y = 3 jest styczna?

Jak podejść do zadania: Porównaj odległość od środka z promieniem.

  1. Odległość (0,0) od poziomej y = 3 wynosi 3.
  2. Jest równa promieniowi.
  3. Jedyny punkt wspólny to (0,3).

Odpowiedź: Tak.

Sprawdzenie i interpretacja: Po podstawieniu y = 3: x2 + 9 = 9 → x = 0.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Prawa strona 25 oznacza promień 25.

Dlaczego to błąd: W równaniu występuje r2.

Poprawnie: r = 5.

Błędne rozumowanie: (x + 1)2 oznacza środek x = 1.

Dlaczego to błąd: Nawias ma postać x − a.

Poprawnie: a = −1.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Suma kwadratów różnic to kwadrat odległości.
  • Warunek rzeczywistego okręgu zależy od r2=(D2+E2)4-F.r^2 = (D^2 + E^2)/4 − F.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 23.10.2026.

  1. ZPE: Matematyka — liceum i technikum

    Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym

  2. CKE: Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

    Zakres źródła: Rozdział 11: proste, okręgi, odległości i wektory