Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: podstawowy i rozszerzenie

Równania i nierówności

Równania kwadratowe

Równanie kwadratowe ma po uporządkowaniu postać ax2+bx+c=0 z a≠0. Można je rozwiązać przez rozkład, wyłączenie czynnika, dopełnienie kwadratu lub deltę. Metodę dobieraj do struktury; wynik zawsze porównaj z pierwotną dziedziną.

Najważniejsze w skrócie

  • Najpierw sprawdź a≠0, potem dobierz metodę.
  • Wzory Viète’a opisują sumę i iloczyn pierwiastków.
  • Rozwiązanie równania po przekształceniu jest czasem tylko kandydatem.

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Wzory skróconego mnożenia i pierwiastki.

Po tej lekcji

  • Wyróżnik określa rzeczywiste pierwiastki
  • Suma i iloczyn bez wypisywania pierwiastków
  • Kwadratowanie może poszerzyć zbiór kandydatów

Wyróżnik określa rzeczywiste pierwiastki

Dla Δ=b2-4Δ=b^2−4 ac dodatnia wartość daje dwa pierwiastki x=(-b±Δ)(2a);x=(−b±√Δ)/(2a); zero daje jeden podwójny -b(2a);−b/(2a); ujemna nie daje rzeczywistych pierwiastków. Gdy c=0, zwykle szybciej wyłączyć x, a gdy b=0, wyznaczyć x2.x^2.

Dopełnienie kwadratu pozwala zapisać x2−2x−1=(x−1)2−2. Widać wtedy odległość x od 1 i można obyć się bez delty.

Najpierw sprawdź a≠0, potem dobierz metodę.

Wzór kwadratowy wynika z dopełnienia kwadratu.

Kiedy stosujemy: Brak rzeczywistych rozwiązań dotyczy zbioru R; nie oznacza twierdzenia o każdym szerszym zbiorze.

Przykłady zastosowania

  • x2−5x+6=(x−2)(x−3).

Źródła: [1].

Suma i iloczyn bez wypisywania pierwiastków

Jeśli istnieją rzeczywiste pierwiastki x1, x2, to x1+x2=-bax1+x2=−b/a oraz x1x2=ca.x1x2=c/a. Wynika to z rozwinięcia a(x−x1)(x−x2). Dzięki temu można policzyć np.x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2.x1^2+x2^2=(x1+x2)^2−2x1x2 albo odtworzyć równanie z pierwiastków.

Wzory Viète’a opisują sumę i iloczyn pierwiastków.

Porównujemy współczynniki po wymnożeniu postaci iloczynowej.

Kiedy stosujemy: Przy zadaniu o rzeczywistych pierwiastkach sprawdź deltę; przy dzieleniu przez ich iloczyn sprawdź też jego niezerowość.

Przykłady zastosowania

  • Dla x2−5x+6=0 suma 5, iloczyn 6.

Źródła: [1].

Kwadratowanie może poszerzyć zbiór kandydatów

Z A=B wynika A2=B2, ale odwrotnie może zachodzić A=−B. Przy równaniu z pierwiastkiem kwadratowym prawa strona musi być nieujemna. Po podniesieniu do kwadratu wróć do tych warunków i sprawdź kandydatów w oryginale.

Rozwiązanie równania po przekształceniu jest czasem tylko kandydatem.

Potęgowanie usuwa informację o znaku.

Kiedy stosujemy: Równoważność kwadratowania wymaga odpowiedniej kontroli znaków.

Przykłady zastosowania

  • x+2=x√(x+2)=x wymaga x≥0.

Źródła: [1].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Dwa pierwiastki

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Rozwiąż x2−5x+6=0.

Jak podejść do zadania: Rozłóż na czynniki lub policz deltę.

  1. Δ=25−24=1.
  2. x=(5±1)2.x=(5±1)/2.
  3. Otrzymuję 2 oraz 3.

Odpowiedź: {2;3}.

Sprawdzenie i interpretacja: 4−10+6=0 i9−15+6=0.

Przećwicz ten zakres

2. Pierwiastek podwójny

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Rozwiąż x2−4x+4=0.

Jak podejść do zadania: Rozpoznaj kwadrat różnicy.

  1. (x−2)2=0.
  2. Kwadrat jest zerem tylko dla x−2=0.
  3. x=2.

Odpowiedź: {2}, pierwiastek podwójny.

Sprawdzenie i interpretacja: Δ=16−16=0 potwierdza jeden rzeczywisty pierwiastek.

Przećwicz ten zakres

3. Ujemna delta

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Rozwiąż x2+1=0 w R.

Jak podejść do zadania: Sprawdź nieujemność kwadratu.

  1. x2≥0.
  2. x2+1≥1.
  3. Lewa strona nie może być 0.

Odpowiedź: Brak rzeczywistych rozwiązań.

Sprawdzenie i interpretacja: Δ=−4<0 zgadza się z argumentem o znaku.

Przećwicz ten zakres

4. Suma kwadratów pierwiastków

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Dla pierwiastków x1, x2 równania x2−5x+6=0 oblicz x12+x22.

Jak podejść do zadania: Użyj sumy i iloczynu Viète’a.

  1. x1+x2=5 oraz x1x2=6.
  2. x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2.
  3. 25−12=13.

Odpowiedź: 13.

Sprawdzenie i interpretacja: Znane pierwiastki 2 i3 dają 4+9=13.

Przećwicz ten zakres

5. Równanie z pierwiastków

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Ułóż równanie o współczynniku przy x2 równym 1 i pierwiastkach 1,3.

Jak podejść do zadania: Zapisz iloczyn czynników liniowych.

  1. (x−1)(x−3)=0.
  2. Po rozwinięciu x2−4x+3=0.
  3. Suma pierwiastków 4 i iloczyn 3 zgadzają się ze współczynnikami.

Odpowiedź: x2−4x+3=0.

Sprawdzenie i interpretacja: Podstawienie 1 oraz 3 zeruje odpowiedni czynnik.

Przećwicz ten zakres

6. Dopełnienie kwadratu

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Rozwiąż x2−2x−1=0.

Jak podejść do zadania: Przenieś stałą po dopełnieniu kwadratu.

  1. (x−1)2−2=0.
  2. (x−1)2=2.
  3. x-1=±2.x−1=±√2.

Odpowiedź: {1-2;1+2}.{1−√2;1+√2}.

Sprawdzenie i interpretacja: Dla obu liczb(x−1)2−2=0.

Przećwicz ten zakres

7. Obcy kandydat po kwadratowaniu

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Rozwiążx+2=x.√(x+2)=x.

Jak podejść do zadania: Sprawdź znaki, potem podnieś do kwadratu.

  1. Warunek x≥0 zapewnia także x+2≥0.
  2. Po kwadratowaniu x+2=x2, więc(x−2)(x+1)=0.
  3. Kandydat −1 odpada, a2 spełnia pierwotne równanie.

Odpowiedź: x=2.

Sprawdzenie i interpretacja: 4=2;√4=2; dla −1 otrzymalibyśmy 1=−1, czyli fałsz.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Używam delty nawet gdy a=0.

Dlaczego to błąd: Wzór dzieli przez 2a.

Poprawnie: Najpierw rozpoznaj stopień równania.

Błędne rozumowanie: Każdy wynik po kwadratowaniu jest rozwiązaniem oryginału.

Dlaczego to błąd: Kwadratowanie mogło zatrzeć znak.

Poprawnie: Sprawdź kandydatów w pierwotnym równaniu.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Wzór kwadratowy wynika z dopełnienia kwadratu.
  • Porównujemy współczynniki po wymnożeniu postaci iloczynowej.
  • Potęgowanie usuwa informację o znaku.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 23.10.2026.

  1. CKE — równanie i funkcja kwadratowa

    Zakres źródła: Rozdział 7, strony 7–8; delta, pierwiastki, postacie i wzory Viète’a