Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: podstawowy i rozszerzenie

Równania i nierówności

Równania i nierówności wymierne

Najpierw wyznaczamy dziedzinę wszystkich ułamków. W równaniu można usuwać mianowniki, które są niezerowe w tej dziedzinie. W nierówności potrzebna jest dodatkowo kontrola ich znaków; wygodna bywa siatka znaków albo mnożenie przez kwadrat mianownika.

Najważniejsze w skrócie

  • Zbiór rozwiązań musi należeć do pierwotnej dziedziny.
  • Przy badaniu znaków odróżnij zero licznika od zera mianownika.

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Wyrażenia wymierne i znaki iloczynów.

Po tej lekcji

  • Mnożenie w ustalonej dziedzinie
  • Iloraz ma znak zgodności licznika i mianownika

Mnożenie w ustalonej dziedzinie

Dla 1(x-1)=21/(x−1)=2 wykluczamy 1, a potem mnożymy przez x−1. To działanie jest równoważne w ustalonej dziedzinie. Kandydat, który zeruje pierwotny mianownik, musi zostać odrzucony nawet po skróceniu wyrażenia.

Zbiór rozwiązań musi należeć do pierwotnej dziedziny.

Wartość wykluczona nie staje się dopuszczalna po usunięciu kreski ułamkowej.

Kiedy stosujemy: Każdy pierwotny mianownik pozostaje niezerowy.

Przykłady zastosowania

  • (x2-1)(x-1)=2(x^2−1)/(x−1)=2 prowadzi do kandydata 1, którego trzeba odrzucić.

Źródła: [1].

Iloraz ma znak zgodności licznika i mianownika

Dodatni iloraz ma licznik i mianownik o tym samym znaku, ujemny o przeciwnych znakach. Na osi zaznacz zera obu wielomianów. Zera mianownika zawsze wyklucz; zera licznika włącz tylko przy≤lub≥.

Nie mnożymy przez mianownik o nieznanym znaku bez podziału na przypadki. W dziedzinie jego kwadrat jest dodatni, więc pomnożenie przez kwadrat nie zmienia zwrotu. Tak można zastąpić znak ilorazu znakiem iloczynu, pamiętając o dziedzinie.

Przy badaniu znaków odróżnij zero licznika od zera mianownika.

Iloraz zeruje się tylko przy zerowym liczniku i niezerowym mianowniku.

Kiedy stosujemy: Pierwotne wykluczenia są ważniejsze od późniejszego uproszczenia.

Przykłady zastosowania

  • (x-2)(x+1)>0(x−2)/(x+1)>0 daje x<−1 lubx>2.

Źródła: [2].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Równanie z jednym mianownikiem

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Rozwiąż1(x-1)=2.1/(x−1)=2.

Jak podejść do zadania: Wyklucz 1 i usuń mianownik.

  1. x≠1.
  2. 1=2(x−1), więc 2x=3.
  3. x= jest dopuszczalne.

Odpowiedź: x=.

Sprawdzenie i interpretacja: 1(32-1)=1(12)=2.1/(3/2−1)=1/(1/2)=2.

Przećwicz ten zakres

2. Jedyny kandydat wykluczony

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Rozwiąż(x2-1)(x-1)=2.(x^2−1)/(x−1)=2.

Jak podejść do zadania: Zachowaj wykluczenie po skróceniu.

  1. x≠1.
  2. x+1=2 daje x=1.
  3. Kandydat nie należy do dziedziny.

Odpowiedź: Brak rozwiązań.

Sprawdzenie i interpretacja: W oryginale dla 1 mianownik wynosi 0.

Przećwicz ten zakres

3. Dodatni iloraz

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Rozwiąż(x-2)(x+1)>0.(x−2)/(x+1)>0.

Jak podejść do zadania: Podziel oś w−1 i2.

  1. Dla x<−1 oba wyrażenia są ujemne.
  2. Dla −1<x<2 mają przeciwne znaki.
  3. Dla x>2 oba są dodatnie.

Odpowiedź: (−∞;−1)∪(2;+∞).

Sprawdzenie i interpretacja: −1 jest poza dziedziną, a2 daje 0 i odpada przy znaku ostrym.

Przećwicz ten zakres

4. Podwójne zero licznika

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Rozwiąż(x-1)2(x+2)≤0.(x−1)^2/(x+2)≤0.

Jak podejść do zadania: Ustal znak kwadratu i mianownika osobno.

  1. x≠−2.
  2. Dla x<−2 iloraz jest ujemny.
  3. Dla x>−2 może być niedodatni tylko w zerze licznika x=1.

Odpowiedź: (−∞;−2)∪{1}.

Sprawdzenie i interpretacja: Dla 1 licznik 0, mianownik 3; po obu stronach 1 iloraz jest dodatni.

Przećwicz ten zakres

5. Wspólny mianownik

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Rozwiąż1(x-1)+1(x+1)=1.1/(x−1)+1/(x+1)=1.

Jak podejść do zadania: Wyklucz±1 i połącz ułamki.

  1. 2x(x2-1)=1.2x/(x^2−1)=1.
  2. 2x=x2−1, więc x2−2x−1=0.
  3. x=1±2,x=1±√2, oba różne od±1.

Odpowiedź: {1-2;1+2}.{1−√2;1+√2}.

Sprawdzenie i interpretacja: Dla każdego kandydata x2−1=2x≠0, więc iloraz wynosi 1.

Przećwicz ten zakres

6. Tożsamość w ograniczonej dziedzinie

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Rozwiąż2(x-2)=2(x-2).2/(x−2)=2/(x−2).

Jak podejść do zadania: Najpierw ustal, gdzie obie strony istnieją.

  1. x≠2.
  2. Dla każdego dopuszczonego x strony są identyczne.
  3. Redukcja 0=0 nie znosi wykluczenia.

Odpowiedź: R∖{2}.

Sprawdzenie i interpretacja: Nie jest to całe R: dla 2 nie ma dwóch określonych wartości do porównania.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Mnożę nierówność przez x+1 bez sprawdzania znaku.

Dlaczego to błąd: Dla części x trzeba byłoby odwrócić zwrot.

Poprawnie: Podziel na przypadki lub użyj dodatniego kwadratu mianownika.

Błędne rozumowanie: Przy≤0 dołączam także zera mianownika.

Dlaczego to błąd: W tych punktach wyrażenie nie istnieje.

Poprawnie: Dołączaj wyłącznie dopuszczone zera licznika.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Wartość wykluczona nie staje się dopuszczalna po usunięciu kreski ułamkowej.
  • Iloraz zeruje się tylko przy zerowym liczniku i niezerowym mianowniku.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 23.10.2026.

  1. ZPE — dziedzina wyrażeń wymiernych
  2. ZPE — metody nierówności wymiernych