Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: podstawowy i rozszerzenie

Kombinatoryka

Reguły zliczania

Zliczanie zaczyna się od precyzyjnego opisu wyniku. Rozstrzygnij, czy znaczenie mają kolejność, powtórzenia oraz zero na początku. Mnożenie łączy etapy jednego wyboru, a dodawanie rozłączne przypadki.

Najważniejsze w skrócie

  • Kolejne etapy mnożymy; rozłączne alternatywy dodajemy.
  • |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Działania na liczbach naturalnych.

Po tej lekcji

  • Rozłóż wybór na etapy i przypadki
  • Odejmij wspólne lub zabronione wyniki

Rozłóż wybór na etapy i przypadki

Zakres: Podstawowy

Przy wyborze koszulki i spodni wykonujemy dwa etapy, więc mnożymy możliwości. Przy wyborze jednego napoju: herbata albo kawa, sumujemy rozłączne listy.

Liczba trzycyfrowa nie może zaczynać się od zera, choć kod może. Warunek zadania musi być uwzględniony osobno na każdej pozycji.

Kolejne etapy mnożymy; rozłączne alternatywy dodajemy.

Każdy wynik powinien pojawić się w rachunku dokładnie raz.

Kiedy stosujemy: Liczba możliwości etapu musi być stała w rozpatrywanej gałęzi.

Przykłady zastosowania

  • Dwie cyfry bez powtórzeń z 5 cyfr: 5 · 4.

Źródła: [2].

Odejmij wspólne lub zabronione wyniki

Zakres: Rozszerzenie

Suma liczebności zbiorów liczy część wspólną dwa razy. Odejmujemy ją jeden raz. Niekiedy prościej policzyć wszystkie wyniki i odjąć te, które nie spełniają warunku.

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

Po odjęciu przecięcia każdy element sumy jest liczony raz.

Kiedy stosujemy: Dla kilku przypadków dopilnuj rozłączności albo uwzględnij przecięcia.

Przykłady zastosowania

  • Co najmniej jedna cyfra 7: wszystkie kody minus kody bez 7.

Źródła: [2].

Sprawdź na interaktywnym modelu

Wybieraj liście, śledząc kolejne etapy. Dodanie alternatywy i dodanie etapu zmieniają liczbę wyników w inny sposób.

Wybieraj elementy rysunku i poznawaj ich własności. To swobodna powtórka bez ocen.

123A123BStart
Powiększenie i przesuwanie

Plus i minus zmieniają powiększenie. Strzałki przesuwają powiększoną grafikę, Home przywraca całość. Możesz użyć przycisków lub klawiatury po ustawieniu fokusu na grafice.

Opis i oznaczenia

Drzewo kolejnych wyborów; każdy liść oznacza osobny wynik

  • 1
  • 2
  • 3
  • A
  • 1
  • 2
  • 3
  • B
  • Start
Wybierz elementy (1–4 z 6)

Nie zaznaczono żadnego elementu.

Pomoc do wyboru

Dotknij elementu na rysunku lub wybierz go z listy. Poniżej znajdziesz objaśnienie zaznaczenia.

Wybierz element, aby przeczytać jego opis.

Źródła: [1] [2] [3].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Trzy etapy

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Są 3 zupy, 4 dania i 2 desery. Ile pełnych zestawów?

S1S2D1S1S2D2S1S2D3S1S2D4Z1S1S2D1S1S2D2S1S2D3S1S2D4Z2S1S2D1S1S2D2S1S2D3S1S2D4Z3Start

Z to zupa, D danie, S deser. Każda ścieżka wybiera po jednej pozycji, a każdy liść jest jednym zestawem.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Pomnóż możliwości.

  1. 3 · 4 = 12 par zupa–danie.
  2. Do każdej pary są 2 desery.
  3. 12 · 2 = 24.

Odpowiedź: 24.

Sprawdzenie i interpretacja: Dla każdej z 3 zup jest 8 zestawów.

Przećwicz ten zakres

2. Jeden wybór

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Do wyboru jest 5 herbat albo 4 kawy. Ile możliwości jednego napoju?

AH1H2H3H4H5BK1K2K3K4

Dwie rozłączne listy napojów: wybieramy jeden element jednej z list.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Dodaj rozłączne kategorie.

  1. Wybieramy tylko jeden napój.
  2. Żaden wariant nie jest zarazem herbatą i kawą.
  3. 5 + 4 = 9.

Odpowiedź: 9.

Sprawdzenie i interpretacja: Lista wszystkich nazw zawiera 9 elementów.

Przećwicz ten zakres

3. Liczby trzycyfrowe

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Ile liczb trzycyfrowych powstaje z cyfr 0,1,2,3 bez powtórzeń?

313223Liczby trzycyfrowe, bezpowtórzeń

Pierwsza pozycja wyklucza zero; na drugiej zero może już wystąpić.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Ogranicz pierwszą pozycję.

  1. Pierwsza cyfra: 3 możliwości bez zera.
  2. Druga: 3 pozostałe cyfry.
  3. Trzecia: 2; razem 3 · 3 · 2 = 18.

Odpowiedź: 18.

Sprawdzenie i interpretacja: Wszystkich uporządkowanych trójek jest 24; 6 zaczyna się od zera.

Przećwicz ten zakres

4. Dwie podzielności

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Ile liczb od 1 do 30 jest podzielnych przez 2 lub przez 3?

Przez 2: 15Przez 3: 1010 liczb5 liczb5 liczb

Wspólne wielokrotności 6 należą do obu list i w sumie zbiorów liczymy je raz.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Odejmij podwójnie policzone wielokrotności 6.

  1. Przez 2: 15 liczb; przez 3: 10.
  2. Przez obie, czyli przez 6: 5.
  3. 15 + 10 − 5 = 20.

Odpowiedź: 20.

Sprawdzenie i interpretacja: Niepodzielnych przez oba jest pozostałe 10.

Przećwicz ten zakres

5. Co najmniej jedna siódemka

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Ile kodów trzycyfrowych, także zaczynających się zerem, zawiera co najmniej jedną 7?

A101010B999

Górny rząd: liczby wyborów wszystkich kodów; dolny: kodów bez cyfry 7. Zero z przodu jest legalne.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Odejmij kody bez 7.

  1. Wszystkich kodów jest 103 = 1000.
  2. Bez 7 jest 93 = 729.
  3. 1000 − 729 = 271.

Odpowiedź: 271.

Sprawdzenie i interpretacja: Dokładnie jedna: 3 · 92 = 243; dwie: 3 · 9 = 27; trzy: 1; razem 271.

Przećwicz ten zakres

6. Parzysta suma

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Ile uporządkowanych wyników dwóch kostek ma parzystą sumę?

NPNNNNPPPNPP

N oznacza nieparzysty, P parzysty wynik kostki. Suma jest parzysta w polach NN i PP; każde zawiera 3·3 par.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Rozdziel na dwie rozłączne parzystości.

  1. Oba nieparzyste: 3 · 3 = 9.
  2. Oba parzyste: 3 · 3 = 9.
  3. 9 + 9 = 18.

Odpowiedź: 18.

Sprawdzenie i interpretacja: Pozostałych 18 z 36 ma różne parzystości i nieparzystą sumę.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Wybór zupy i deseru wymaga dodania możliwości.

Dlaczego to błąd: To etapy tego samego zestawu.

Poprawnie: Pomnóż liczby wyborów.

Błędne rozumowanie: Podzielne przez 2 lub 3: 15 + 10 = 25.

Dlaczego to błąd: Wielokrotności 6 policzono dwukrotnie.

Poprawnie: Odejmij 5, otrzymasz 20.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Każdy wynik powinien pojawić się w rachunku dokładnie raz.
  • Po odjęciu przecięcia każdy element sumy jest liczony raz.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 02.11.2026.

  1. ZPE: Matematyka — liceum i technikum

    Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym

  2. ZPE: Reguła mnożenia, reguła dodawania

    Zakres źródła: Etapy wyboru, rozłączne przypadki i permutacje

  3. CKE: Silnia i kombinatoryka

    Zakres źródła: Rozdziały 4 i 13: silnia, współczynnik dwumianowy, wariacje i kombinacje