Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: podstawowy i rozszerzenie

Funkcje

Przekształcenia wykresów

Przesunięcie lub odbicie można odczytać ze wzoru, gdy rozróżnisz zmianę argumentu i zmianę wartości. Działanie wewnątrz f dotyczy położenia poziomego, a na zewnątrz pionowego.

Najważniejsze w skrócie

  • f(x−p)+q: przesunięcie o wektor(p,q)
  • |f(x)| zachowuje części nad osią X i odbija te pod nią.

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Wykresy podstawowych funkcji.

Po tej lekcji

  • Śledź jeden punkt wykresu
  • Rozróżnij rozciąganie i odbicie częściowe

Śledź jeden punkt wykresu

Zakres: Podstawowy

Jeśli f(a)=b, to g(x)=f(x−p)+q ma punkt(a+p,b+q). Minus wewnątrz oznacza przesunięcie w prawo dla p>0, bo do starego argumentu a wracamy przy x=a+p.

−f(x) odbija pionowe wartości w osi X, a f(−x) poziome argumenty w osi Y.

f(x−p)+q: przesunięcie o wektor(p,q)

Podstawienie x=a+p daje stary argument a.

Kiedy stosujemy: Kolejność odbicia i przesunięcia może mieć znaczenie.

Przykłady zastosowania

  • (x−2)2+3 ma wierzchołek(2,3).
Zmieniaj parametry i sprawdzaj punkt wierzchołka oraz kierunek ramion.

Zmieniaj współczynnik i przesunięcia, aby obserwować wykres. Punkt P pokazuje wartość dla wybranego argumentu. Model służy do swobodnego sprawdzania zależności, bez oceny.

-6-4,5-3-1,501,534,56-8-6-4-202468xyP
Powiększenie i przesuwanie

Plus i minus zmieniają powiększenie. Strzałki przesuwają powiększoną grafikę, Home przywraca całość. Możesz użyć przycisków lub klawiatury po ustawieniu fokusu na grafice.

Opis i oznaczenia

y = x^2. Zaznaczony argument x = 1.

  • P: (1; 1)
Punkty wykresu w tabeli

Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku

x
-2,75
y
7,56
x
-2,63
y
6,89
x
-2,5
y
6,25
x
-2,38
y
5,64

y = x2

Wierzchołek W = (0; 0). Ramiona w górę; |a| = 1. Dziedzina: wszystkie liczby rzeczywiste.

f(1) ≈ 1. Rysunek pokazuje tylko widoczny fragment wykresu; wartości poza ramką nadal mogą należeć do zbioru wartości.

Źródła: [2].

Rozróżnij rozciąganie i odbicie częściowe

Zakres: Rozszerzenie

W af(x) mnożymy współrzędne y przez a. W f(bx) współrzędne x dzielimy przez b. W |f(x)| odbijamy tylko część pod osią X; w f(|x|) kopiujemy prawą część na lewo.

|f(x)| zachowuje części nad osią X i odbija te pod nią.

Moduł zmienia ujemne wartości na dodatnie, nie zmienia argumentów.

Kiedy stosujemy: Dla f(bx) zakładamy b≠0; dla b<0 dochodzi odbicie.

Przykłady zastosowania

  • |x2−1| odbija odcinek wykresu dla−1<x<1.

Źródła: [2].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Przesunięcie paraboli

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Opisz przejście z x2 do(x−2)2+3.

-36-214xy

Opisz przejście z x2 do(x−2)2+3.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Porównaj z f(x−p)+q.

  1. p=2 oznacza2 w prawo.
  2. q=3 oznacza3 w górę.
  3. Wierzchołek(0,0) przechodzi w(2,3).

Odpowiedź: O2 w prawo i3 w górę.

Sprawdzenie i interpretacja: Dla x=2 nowa wartość wynosi3.

Przećwicz ten zakres

2. Odbicie pionowe

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Opisz przejście z f(x) do−f(x).

xyABA = (a; b)B = (a; −b)

Opisz przejście z f(x) do−f(x).

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Zmień znaki wartości.

  1. Punkt(a,b) przechodzi w(a,−b).
  2. Argument pozostaje ten sam.
  3. To odbicie względem osi X.

Odpowiedź: Odbicie w osi X.

Sprawdzenie i interpretacja: Miejsca zerowe pozostają na swoim miejscu.

Przećwicz ten zakres

3. Odbicie poziome

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Gdzie przejdzie punkt(2,5) wykresu f przy g(x)=f(−x)?

-44-17xyABA = (2; 5)B = (−2; 5)

Gdzie przejdzie punkt(2,5) wykresu f przy g(x)=f(−x)?

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Znajdź nowy argument dający stare2.

  1. −x=2 daje x=−2.
  2. Wartość pozostaje5.
  3. Nowy punkt to(−2,5).

Odpowiedź: (−2,5).

Sprawdzenie i interpretacja: g(−2)=f(2)=5.

Przećwicz ten zakres

4. Skalowanie osi

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Punkt(4,3) należy do f. Jaki punkt odpowiada mu na g(x)=2f(2x)?

-16-18xyABA = (4; 3)B = (2; 6)

Punkt(4,3) należy do f. Jaki punkt odpowiada mu na g(x)=2f(2x)?

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Najpierw argument, potem wartość.

  1. 2x=4,więc x=2.
  2. Nowe y=2 · 3=6.
  3. Punkt przechodzi w(2,6).

Odpowiedź: (2,6).

Sprawdzenie i interpretacja: g(2)=2f(4)=6.

Przećwicz ten zakres

5. Moduł wyniku

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Jak przekształcić wykres x2−1, aby otrzymać |x2−1|?

-33-26xy

Jak przekształcić wykres x2−1, aby otrzymać |x2−1|?

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Zidentyfikuj ujemne wartości.

  1. Dla−1<x<1 stary wykres leży pod osią X.
  2. Tylko tę część odbijamy w osi X.
  3. Pozostałe punkty i zera zostają.

Odpowiedź: Odbij pod osią X część między−1 i1.

Sprawdzenie i interpretacja: W0 wartość−1 zmienia się w1.

Przećwicz ten zakres

6. Moduł argumentu

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Opisz wykres f(|x|) na podstawie f.

xyABA = (a; b), a ≥ 0B = (−a; b)

Opisz wykres f(|x|) na podstawie f.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Sprawdź dwa znaki x.

  1. Dla x≥0 mamy|x|=x,więc prawa część zostaje.
  2. Dla x<0 mamy|x|=−x,więc kopiujemy prawą część na lewo.
  3. Oryginalna lewa część nie jest używana.

Odpowiedź: Zachowaj prawą część i odbij ją w osi Y.

Sprawdzenie i interpretacja: Nowa funkcja jest parzysta, bo |−x|=|x|.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: f(x−2) przesuwa w lewo.

Dlaczego to błąd: Aby argument f wrócił do0,potrzeba x=2.

Poprawnie: Przesunięcie jest w prawo.

Błędne rozumowanie: |f(x)| odbija cały wykres w osi X.

Dlaczego to błąd: Dodatnie wartości nie zmieniają znaku.

Poprawnie: Odbij tylko ujemną część.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Podstawienie x=a+p daje stary argument a.
  • Moduł zmienia ujemne wartości na dodatnie, nie zmienia argumentów.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 02.11.2026.

  1. ZPE: Matematyka — liceum i technikum

    Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym

  2. ZPE: Przekształcanie wykresów funkcji kwadratowej

    Zakres źródła: Przesunięcia, odbicia i własności wykresów

  3. CKE: Funkcja kwadratowa, potęgi i logarytmy

    Zakres źródła: Rozdziały2,3,7: dziedziny, znaki, wierzchołek i zbiory wartości