Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: rozszerzenie

Stereometria

Przekroje brył

Przekrój to część wspólna bryły i płaszczyzny. Aby obliczyć jego pole, trzeba najpierw rozpoznać figurę i wyznaczyć rzeczywiste długości jej boków. Szkic perspektywiczny nie pozwala odczytywać długości bez uzasadnienia.

Najważniejsze w skrócie

  • Skala przekroju ostrosłupa = odległość od wierzchołka / wysokość bryły
  • Dla kuli ρ2 = r2 − d2

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Pitagoras, podobieństwo i pola.

Po tej lekcji

  • Wyznacz odcinki należące do jednej płaszczyzny
  • Rozpoznaj koło, prostokąt lub trójkąt

Wyznacz odcinki należące do jednej płaszczyzny

Zakres: Rozszerzenie

Płaszczyzna równoległa do podstawy graniastosłupa daje przekrój przystający do podstawy. W ostrosłupie taki przekrój jest podobny do podstawy, a skala jest stosunkiem odległości od wierzchołka.

Przekrój sześcianu przez przekątną podstawy i równoległe krawędzie boczne jest prostokątem.

Skala przekroju ostrosłupa = odległość od wierzchołka / wysokość bryły

Podobne trójkąty leżą w płaszczyznach przechodzących przez wierzchołek.

Kiedy stosujemy: Płaszczyzna musi być równoległa do podstawy.

Przykłady zastosowania

  • Połowa wysokości od wierzchołka daje pole równe pola podstawy.

Źródła: [2].

Rozpoznaj koło, prostokąt lub trójkąt

Zakres: Rozszerzenie

Przekrój osiowy walca jest prostokątem, a stożka trójkątem równoramiennym. Przekrój kuli płaszczyzną przecinającą wnętrze jest kołem. W walcu płaszczyzna równoległa do osi daje prostokąt, którego szerokość jest cięciwą podstawy.

Dla kuli ρ2 = r2 − d2

Przekrój wyznaczamy w płaszczyźnie, więc stosujemy geometrię płaską.

Kiedy stosujemy: d oznacza prostopadłą odległość płaszczyzny od środka.

Przykłady zastosowania

  • Walec: szerokość cięciwy =2r2-d2.= 2√(r^2 − d^2).

Źródła: [2].

Sprawdź na interaktywnym modelu

Wskazuj krawędzie i porównuj ich położenie względem płaszczyzny. Obok pokazano przekrój płaski.

Wybieraj elementy rysunku i poznawaj ich własności. To swobodna powtórka bez ocen.

D′A′DAC′B′CBPrzekrój w jego płaszczyźnieDane z zadaniaa = 4; b = 5; H = 6Płaszczyzna π: kierunek zPołożenie w tym kierunku: 1/2
Powiększenie i przesuwanie

Plus i minus zmieniają powiększenie. Strzałki przesuwają powiększoną grafikę, Home przywraca całość. Możesz użyć przycisków lub klawiatury po ustawieniu fokusu na grafice.

Opis i oznaczenia

Graniastosłup z dwiema przystającymi podstawami

  • D′
  • A′
  • D
  • A
  • C′
  • B′
  • C
  • B
  • Przekrój w jego płaszczyźnie
  • Dane z zadania
  • a = 4; b = 5; H = 6
  • Płaszczyzna π: kierunek z
  • Położenie w tym kierunku: 1/2
Wybierz element (1–4 z 12)

Nie zaznaczono żadnego elementu.

Pomoc do wyboru

Wybierz element rysunku lub listy. Zobaczysz wyjaśnienie; ta eksploracja nie jest oceniana.

Wybierz element, aby przeczytać jego opis.

Źródła: [1] [2].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Przekrój diagonalny sześcianu

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Sześcian ma krawędź 4. Oblicz pole przekroju przez przekątną podstawy i dwie równoległe krawędzie boczne.

Bryła i zaznaczona płaszczyznaPrzekrój płaskiA′AC′CA′AC′CDane z zadaniaKrawędź sześcianu: 4Szukane pole przekroju

Płaszczyzna zawiera przeciwległe krawędzie AA′ i CC′. Obok pokazano przekrój w jego rzeczywistej płaszczyźnie, bez wpisywania obliczonych długości.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Rozpoznaj prostokąt.

  1. Jeden bok przekroju to 4.
  2. Drugi jest przekątną kwadratu:42.: 4√2.
  3. Pole =4·42=162.= 4 · 4√2 = 16√2.

Odpowiedź: 162.16√2.

Sprawdzenie i interpretacja: Boki leżą w prostopadłych kierunkach.

Przećwicz ten zakres

2. Równolegle do podstawy

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Pole podstawy graniastosłupa wynosi 20. Jakie pole ma przekrój równoległy do podstawy wewnątrz bryły?

Bryła i zaznaczona płaszczyznaPrzekrój płaskiDane z zadaniaPole podstawy: 20Płaszczyzna równoległa do podstawyPrzykładowy kształt podstawy

Pokazano przykładową podstawę o polu 20. Jej kształt i wysokość położenia przekroju nie są dodatkowymi danymi; zaznaczona płaszczyzna jest równoległa do podstawy.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Użyj przystawania przekrojów.

  1. Graniastosłup ma jednakowe przekroje równoległe do podstawy.
  2. Przekrój jest przystający do podstawy.
  3. Pole pozostaje 20.

Odpowiedź: 20.

Sprawdzenie i interpretacja: Wysokość położenia przekroju nie zmienia jego rozmiaru.

Przećwicz ten zakres

3. Przekrój ostrosłupa

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Pole podstawy ostrosłupa wynosi 72. Płaszczyzna równoległa do podstawy przecina wysokość w połowie. Oblicz pole przekroju.

Bryła i zaznaczona płaszczyznaPrzekrój płaskiDane z zadaniaPole podstawy: 72Odległość od wierzchołka: H/2Przykładowy kształt podstawy

Przekrój leży w połowie wysokości i jest równoległy do podstawy. Rysunek pokazuje przykładowy kształt podstawy; szukane pole nie jest podpisane.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Podnieś skalę długości do kwadratu.

  1. Odległość od wierzchołka to połowa H.
  2. k = , więc skala pól to .
  3. = 18.

Odpowiedź: 18.

Sprawdzenie i interpretacja: Boki zmniejszają się dwa razy, pole cztery.

Przećwicz ten zakres

4. Przekrój osiowy stożka

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Stożek ma r = 3, H = 4. Oblicz pole przekroju osiowego.

Bryła i zaznaczona płaszczyznaPrzekrój płaskiSABDane z zadaniaPromień podstawy: r = 3Wysokość stożka: H = 4

Płaszczyzna zawierająca oś stożka przecina podstawę w średnicy. Obok widać cały trójkąt przekroju, którego wysokością jest wysokość stożka.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Użyj trójkąta o podstawie 2r.

  1. Podstawa trójkąta ma 6.
  2. Wysokość trójkąta to H = 4.
  3. Pole = 6 · = 12.

Odpowiedź: 12.

Sprawdzenie i interpretacja: To nie pole boczne stożka, lecz jednej figury płaskiej.

Przećwicz ten zakres

5. Koło przekroju

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: r kuli = 13, d = 5. Oblicz promień i pole przekroju.

Bryła i zaznaczona płaszczyznaPrzekrój płaskiTrójkąt pomocniczyρdRDane z zadaniaPromień kuli: R = 13Odległość płaszczyzny: d = 5Promień przekroju: ρ

Zaznaczono kołowy przekrój i prostopadłą od środka kuli do płaszczyzny. Osobny trójkąt wiąże R, d i szukany promień ρ; jego wartości nie dopisano.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Zastosuj Pitagorasa.

  1. ρ2 = 169 − 25 = 144.
  2. ρ = 12.
  3. Pole = 144π.

Odpowiedź: Promień 12; pole 144π.

Sprawdzenie i interpretacja: 52 + 122 = 132.

Przećwicz ten zakres

6. Przekrój walca poza osią

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Walec ma r = 5, H = 7. Płaszczyzna równoległa do osi jest odległa od niej o 3. Oblicz pole przekroju.

Bryła i zaznaczona płaszczyznaPrzekrój płaskiA′AB′BTrójkąt pomocniczyxdrDane z zadaniaPromień walca: r = 5Wysokość: H = 7Odległość płaszczyzny: d = 3

Przekrój jest równoległy do osi walca, ale nie zawiera osi. Szerokość prostokąta jest cięciwą podstawy; trójkąt pomocniczy pokazuje jej połowę x.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Wyznacz cięciwę podstawy.

  1. Połowa cięciwy =25-9=4.= √(25 − 9) = 4.
  2. Szerokość przekroju = 8.
  3. Pole prostokąta = 8 · 7 = 56.

Odpowiedź: 56.

Sprawdzenie i interpretacja: Dla d = 0 szerokość wyniosłaby 10, więc obecny przekrój jest mniejszy.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Przekrój w połowie wysokości ostrosłupa ma połowę pola podstawy.

Dlaczego to błąd: Połowa dotyczy długości.

Poprawnie: Pole wynosi pola podstawy.

Błędne rozumowanie: Z perspektywicznego szkicu odczytujemy kąt prosty.

Dlaczego to błąd: Perspektywa nie zachowuje wszystkich kątów.

Poprawnie: Uzasadnij prostopadłość własnościami bryły.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Podobne trójkąty leżą w płaszczyznach przechodzących przez wierzchołek.
  • Przekrój wyznaczamy w płaszczyźnie, więc stosujemy geometrię płaską.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 02.11.2026.

  1. ZPE: Matematyka — liceum i technikum

    Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym

  2. CKE: Stereometria

    Zakres źródła: Rozdział 12: graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe