Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: podstawowy

Ciągi liczbowe

Procent składany

Procent składany oznacza, że każda kolejna zmiana dotyczy aktualnej wartości. Wielokrotnie mnożymy przez współczynnik 1+p100,1+p/100, zamiast wciąż dodawać tę samą kwotę. Przykłady są umownymi modelami matematycznymi bez opłat i podatków; okres oraz zasady zaokrąglenia podajemy w poleceniu.

Najważniejsze w skrócie

  • Każde mnożenie stosuj do aktualnej wartości.
  • K0=Kn(1+p100)n.K_0=K_n/(1+p/100)^n.
  • Różne okresy wymagają iloczynu właściwych współczynników.

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Procent z liczby, potęgi i ciąg geometryczny.

Po tej lekcji

  • Nowa podstawa po każdym okresie
  • Wróć do wartości początkowej
  • Stały przyrost i stały procent to inne modele

Nowa podstawa po każdym okresie

Jeśli na koniec każdego okresu dopisujemy p% aktualnej wartości, to Kn+1=Kn(1+p100).K_(n+1)=K_n(1+p/100). Po n takich okresach Kn=K0(1+p100)n.K_n=K_0(1+p/100)^n. Stopa p musi dotyczyć tego samego okresu, który liczymy w n.

Dla oprocentowania nominalnego 4% rocznie z kwartalnym podziałem na cztery równe stopy okresowe używamy 1% na kwartał i czterech okresów na rok. Nie wolno bez informacji utożsamiać rocznej stopy efektywnej z nominalną.

Każde mnożenie stosuj do aktualnej wartości.

Dopisany przyrost uczestniczy w kolejnej zmianie.

Kiedy stosujemy: Wzór dotyczy stałej stopy i opisanej kapitalizacji, bez dodatkowych wpłat lub wypłat.

Przykłady zastosowania

  • 1000·1,12=1210.

Źródła: [1].

Wróć do wartości początkowej

Jeśli znamy Kn,K_n, dzielimy przez niezerowy współczynnik wzrostu do potęgi n. Nie odejmujemy n razy stopy od końcowej kwoty, bo końcowa wartość zawiera już wcześniejsze zmiany.

K0=Kn(1+p100)n.K_0=K_n/(1+p/100)^n.

Działanie odwrotne do powtarzanego mnożenia to dzielenie przez cały czynnik.

Kiedy stosujemy: Czynnik musi być niezerowy, a założenia okresów zgodne.

Przykłady zastosowania

  • 12101,12=1000.1210/1,1^2=1000.

Źródła: [1].

Stały przyrost i stały procent to inne modele

W modelu prostym kolejne przyrosty są liczone od tego samego początku. W składanym są liczone od aktualnej wartości. Przy różnych stopach mnożymy odpowiednie czynniki kolejno, np.1,1·0,9=0,99. Wzrost o10% i późniejszy spadek o10% nie znoszą się.

Różne okresy wymagają iloczynu właściwych współczynników.

Procent określa udział każdorazowej podstawy.

Kiedy stosujemy: Zaokrąglaj zgodnie z poleceniem; wcześniejsze zaokrąglenia mogą zmienić wynik.

Przykłady zastosowania

  • 1200·1,1·0,9=1188.

Źródła: [1].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Dwa okresy

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Wartość 1000 zwiększa się o2% na koniec każdego z dwóch okresów. Oblicz wynik.

Jak podejść do zadania: Powtórz mnożenie przez 1,02.

  1. Po pierwszym okresie 1020.
  2. Po drugim 1020·1,02=1040,4.
  3. Równoważnie1000·1,022.

Odpowiedź: 1040,4.

Sprawdzenie i interpretacja: Drugi przyrost 20,4 jest większy od pierwszego 20.

Przećwicz ten zakres

2. Zgodna jednostka okresu

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Stopa nominalna 4% rocznie jest dzielona na cztery równe stopy kwartalne. Ile mnożeń i jaki czynnik stosujemy przez rok?

Jak podejść do zadania: Zamień stopę nominalną zgodnie z podanym podziałem.

  1. Na kwartał przypada 1%.
  2. Czynnik kwartalny to 1,01.
  3. Rok obejmuje cztery kapitalizacje.

Odpowiedź: K4=K0·1,014.K_4=K_0·1,01^4.

Sprawdzenie i interpretacja: Efektywny roczny czynnik jest 1,04060401, więc nie dokładnie 1,04.

Przećwicz ten zakres

3. Wartość początkowa

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Po dwóch wzrostach o10% wartość wynosi 1210. Jaki był początek?

Jak podejść do zadania: Podziel przez 1,12.

  1. 1,12=1,21.
  2. K0=12101,21.K_0=1210/1,21.
  3. Wynik1000.

Odpowiedź: 1000.

Sprawdzenie i interpretacja: 1000→1100→1210 odtwarza oba okresy.

Przećwicz ten zakres

4. Porównanie z prostym przyrostem

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Porównaj 1000 po dwóch okresach po 10% przyrostu prostego i składanego.

Jak podejść do zadania: Ustal podstawę kolejnych przyrostów.

  1. Prosty:1000+100+100=1200.
  2. Składany:1000·1,12=1210.
  3. Różnica wynosi 10.

Odpowiedź: 1200 w prostym,1210 w składanym.

Sprawdzenie i interpretacja: Dodatkowe 10 to 10% od pierwszego przyrostu 100.

Przećwicz ten zakres

5. Wzrost i spadek

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Wartość 1200 rośnie o10%, potem maleje o10%. Oblicz końcową.

Jak podejść do zadania: Zastosuj czynniki 1,1 i0,9.

  1. Po wzroście 1320.
  2. Po spadku 1320·0,9=1188.
  3. Łączny czynnik 1,1·0,9=0,99.

Odpowiedź: 1188, czyli o1% mniej od początku.

Sprawdzenie i interpretacja: Spadek 132 jest większy niż wcześniejszy wzrost 120.

Przećwicz ten zakres

6. Zaokrąglenie na końcu

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Oblicz 1000·1,013 i zaokrąglij dopiero wynik do dwóch miejsc po przecinku.

Jak podejść do zadania: Zachowaj dokładność iloczynów pośrednich.

  1. 1,013=1,030301.
  2. Po pomnożeniu 1030,301.
  3. Do setnych 1030,30.

Odpowiedź: 1030,30.

Sprawdzenie i interpretacja: Pierwsza odrzucana cyfra 1 nie zwiększa setnych.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Dwa razy 10% oznacza zawsze 20% początku.

Dlaczego to błąd: Drugi procent może dotyczyć zwiększonej podstawy.

Poprawnie: Przy składaniu pomnóż 1,1·1,1.

Błędne rozumowanie: Stopę roczną stosuję jako miesięczną bez przeliczenia.

Dlaczego to błąd: Stopa i liczba okresów opisują różne jednostki czasu.

Poprawnie: Ustal stopę przypadającą na jedną kapitalizację.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Dopisany przyrost uczestniczy w kolejnej zmianie.
  • Działanie odwrotne do powtarzanego mnożenia to dzielenie przez cały czynnik.
  • Procent określa udział każdorazowej podstawy.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 23.10.2026.

  1. CKE — ciągi arytmetyczne, geometryczne i procent składany

    Zakres źródła: Rozdział 8, strony 9–10; wyrazy, sumy i kapitalizacja