Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: rozszerzenie

Prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo warunkowe

Warunek zmienia przestrzeń, w której rozpatrujemy wynik. P(A|B) pyta o udział zdarzenia A tylko wśród wyników należących do B. Nie zamieniaj kolejności zdarzeń: P(A|B) i P(B|A) zwykle są różne.

Najważniejsze w skrócie

  • P(A|B)=P(A∩B)P(B)P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
  • P(A) = suma P(Bᵢ)P(A|Bᵢ);P(Bⱼ|A)=P(Bⱼ)P(A|Bⱼ)P(A)P(Bᵢ)P(A|Bᵢ); P(Bⱼ|A) = P(Bⱼ)P(A|Bⱼ)/P(A)

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Prawdopodobieństwo klasyczne i działania na zbiorach.

Po tej lekcji

  • Ogranicz przestrzeń do warunku
  • Połącz przyczyny i odwróć warunek

Ogranicz przestrzeń do warunku

Zakres: Rozszerzenie

Gdy wiadomo, że na kostce wypadła liczba parzysta, pozostają 2,4,6. Szansa wyniku większego od 3 wynosi teraz . W losowaniu bez zwracania skład i liczebność zbioru zmieniają się po pierwszym wyniku.

P(A|B)=P(A∩B)P(B)P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)

Warunek B staje się nową całością o prawdopodobieństwie 1.

Kiedy stosujemy: P(B) > 0.

Przykłady zastosowania

  • P(A ∩ B) = P(B)P(A|B).

Źródła: [2].

Połącz przyczyny i odwróć warunek

Zakres: Rozszerzenie

Jeżeli B₁,...,Bₙ rozdzielają wszystkie możliwości na rozłączne przypadki, szansę A sumujemy po gałęziach P(Bᵢ)P(A|Bᵢ). Aby dowiedzieć się, z której gałęzi pochodzi zaobserwowane A, dzielimy prawdopodobieństwo wybranej gałęzi z A przez całe P(A).

P(A) = suma P(Bᵢ)P(A|Bᵢ);P(Bⱼ|A)=P(Bⱼ)P(A|Bⱼ)P(A)P(Bᵢ)P(A|Bᵢ); P(Bⱼ|A) = P(Bⱼ)P(A|Bⱼ)/P(A)

Bayes porównuje wkład jednej przyczyny ze wszystkimi sposobami uzyskania obserwacji.

Kiedy stosujemy: Przypadki Bᵢ są rozłączne i wyczerpujące, P(A) > 0.

Przykłady zastosowania

  • Nie pomijaj częstości wyboru każdego worka lub urządzenia.

Źródła: [2].

Sprawdź na interaktywnym modelu

Zmieniaj priory i szanse czerwonej w źródłach. Bayes uwzględnia oba czynniki; przy zerowej szansie obserwacji warunkowanie jest niezdefiniowane.

Najpierw wybieramy źródło A albo B, potem wynik czerwony C albo niebieski N. Prawdopodobieństwo ścieżki to iloczyn liczb na jej gałęziach. Różne liście mogą mieć różne szanse.

CN2/108/10ACN6/104/10B3/107/10Start
Powiększenie i przesuwanie

Plus i minus zmieniają powiększenie. Strzałki przesuwają powiększoną grafikę, Home przywraca całość. Możesz użyć przycisków lub klawiatury po ustawieniu fokusu na grafice.

Opis i oznaczenia

Drzewo kolejnych wyborów; każdy liść oznacza osobny wynik

  • C
  • N
  • 2/10
  • 8/10
  • A
  • C
  • N
  • 6/10
  • 4/10
  • B
  • 3/10
  • 7/10
  • Start
Wybierz ścieżki zdarzenia

Suma szans wybranych ścieżek: 0/100.

P(C) = P(A∩C) + P(B∩C) = 12/25.

P(A|C) = P(A∩C) / P(C) = 1/8.

Źródła: [1] [2] [3].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Informacja o parzystości

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Wiadomo, że wynik uczciwej kostki jest parzysty. Jaka szansa, że jest większy niż 3?

Przestrzeń po informacji o parzystości246

Informacja o parzystości ogranicza nową całość do trzech wyników.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Ogranicz wyniki.

  1. Pozostają 2,4,6.
  2. Warunek A spełniają 4 i 6.
  3. Szansa to .

Odpowiedź: .

Sprawdzenie i interpretacja: (26)(36)=23.(2/6)/(3/6) = 2/3.

Przećwicz ten zakres

2. Dane z tabeli

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: W grupie jest 12 dziewcząt, z których 8 gra w siatkówkę. Losujemy dziewczynę z tej grupy. Jaka szansa, że gra?

AG1G2G3G4G5G6G7G8BN1N2N3N4

Wśród dwunastu dziewcząt osiem gra (G), cztery nie grają (N). Nie dopisujemy niepodanej liczby chłopców.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Użyj grupy objętej warunkiem.

  1. Całość po warunku to 12 dziewcząt.
  2. Sprzyjające są 8.
  3. = .

Odpowiedź: .

Sprawdzenie i interpretacja: Liczba chłopców nie wpływa na warunek ograniczony do dziewcząt.

Przećwicz ten zakres

3. Bez zwracania

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Są 3 czerwone i 2 białe kule. Jaka szansa czerwonej w drugim losowaniu, jeśli pierwsza była czerwona i nie wróciła?

Pozostałe kule po usunięciu czerwonejC1C2B1B2

Po warunku pozostają dwie czerwone i dwie białe kule; pierwsza nie wróciła.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Zaktualizuj worek.

  1. Zostały 2 czerwone i 2 białe.
  2. Wszystkich pozostałych jest 4.
  3. P = = .

Odpowiedź: .

Sprawdzenie i interpretacja: To szansa warunkowa po usunięciu czerwonej, nie pierwotne .

Przećwicz ten zakres

4. Dwa worki

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Worek I wybieramy z szansą , ma 3 czerwone z 4 kul; worek II też z , ma 1 czerwoną z 4. Oblicz szansę czerwonej.

CN3/41/4ICN1/43/4II1/21/2Start

Całkowita szansa czerwonej sumuje dwa rozłączne sposoby dojścia do C.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Dodaj rozłączne gałęzie.

  1. Z I i czerwona: · = .
  2. Z II i czerwona: · = .
  3. Razem = .

Odpowiedź: .

Sprawdzenie i interpretacja: Po zrównoważeniu liczby losowań czerwone stanowią połowę wyników.

Przećwicz ten zakres

5. Skąd pochodzi czerwona?

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: W poprzednim układzie wylosowano czerwoną kulę. Jaka szansa, że pochodzi z worka I?

CN3/41/4ICN1/43/4II1/21/2Start

Po obserwacji C porównujemy czerwony wkład worka I z czerwonymi wkładami obu worków.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Porównaj wkład worka I z całą szansą czerwonej.

  1. P(I i czerwona) = .
  2. P(czerwona) = .
  3. P(I|czerwona)=(38)(12)=34.) = (3/8)/(1/2) = 3/4.

Odpowiedź: .

Sprawdzenie i interpretacja: Wkłady czerwonych z worków mają stosunek 3 : 1.

Przećwicz ten zakres

6. Różne udziały źródeł

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Maszyna A wytwarza elementów i wadliwy jest jej wyrobów. B wytwarza , wadliwe . Wybrano wadliwy element. Jaka szansa pochodzenia z A?

CN1/109/10ICN1/54/5II3/41/4Start

I to maszyna A, II to B, C to wada. Różne priory produkcji muszą zostać uwzględnione.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Uwzględnij udział produkcji i wad.

  1. P(A i wada) = · = .
  2. P(wada) = + · = .
  3. P(A|wada)=(340)(540)=35.) = (3/40)/(5/40) = 3/5.

Odpowiedź: .

Sprawdzenie i interpretacja: Wśród 40 umownych elementów oczekiwane wkłady wad wynoszą 3 z A i 2 z B.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: P(A|B) = P(B|A).

Dlaczego to błąd: Odwrócenie warunku zmienia zbiór odniesienia.

Poprawnie: Zapisz osobno licznik i mianownik.

Błędne rozumowanie: W Bayesie porównujemy tylko odsetki wad.

Dlaczego to błąd: Źródła mogą mieć różne udziały w produkcji.

Poprawnie: Pomnóż odsetek wad przez częstość wyboru źródła.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Warunek B staje się nową całością o prawdopodobieństwie 1.
  • Bayes porównuje wkład jednej przyczyny ze wszystkimi sposobami uzyskania obserwacji.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 02.11.2026.

  1. ZPE: Matematyka — liceum i technikum

    Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym

  2. CKE: Rachunek prawdopodobieństwa

    Zakres źródła: Rozdział 14: działania na zdarzeniach, warunkowanie, niezależność i Bernoulli

  3. ZPE: Prawdopodobieństwo klasyczne

    Zakres źródła: Jednakowo prawdopodobne wyniki i losowanie ze zwracaniem oraz bez zwracania