Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: podstawowy i rozszerzenie

Prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo klasyczne

W modelu klasycznym każdy wynik elementarny ma tę samą szansę. Najpierw dobierz jednolity sposób zliczania licznika i mianownika: albo wyniki uporządkowane, albo nieuporządkowane grupy. Rozszerzenie obejmuje wielokrotne próby i schemat Bernoullego.

Najważniejsze w skrócie

  • P(A) = |A|/|Ω|
  • P(k sukcesów)=C(n,k)pk(1-p)n-k) = C(n,k)p^k(1−p)^(n−k)

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Kombinatoryka i działania na zdarzeniach.

Po tej lekcji

  • Policz zdarzenie i całą przestrzeń tym samym sposobem
  • Policz sukcesy w niezależnych próbach

Policz zdarzenie i całą przestrzeń tym samym sposobem

Zakres: Podstawowy

W dwóch rzutach kostką wynikiem jest uporządkowana para, więc jest 36 jednakowo prawdopodobnych par. Sumy od 2 do 12 nie są równoprawdopodobne: sumę 7 można uzyskać na sześć sposobów, a 2 tylko na jeden.

P(A) = |A|/|Ω|

Jednakowe szanse wyników pozwalają zastąpić prawdopodobieństwa liczebnościami.

Kiedy stosujemy: Ω jest skończona, niepusta i równomierna.

Przykłady zastosowania

  • P(sumy 7 na dwóch kostkach) = .

Źródła: [3].

Policz sukcesy w niezależnych próbach

Zakres: Rozszerzenie

Próba Bernoullego ma dwa wyniki: sukces i porażkę. Dla n niezależnych prób o tym samym p dokładnie k sukcesów ma C(n,k) możliwych rozmieszczeń. Każde takie rozmieszczenie ma szansę pk(1-p)n-k.p^k(1−p)^(n−k).

P(k sukcesów)=C(n,k)pk(1-p)n-k) = C(n,k)p^k(1−p)^(n−k)

Mnożenie oblicza jedną kolejność, współczynnik dwumianowy liczy wszystkie jej rozmieszczenia.

Kiedy stosujemy: Próby niezależne, stałe p, n całkowite, 0 ≤ k ≤ n.

Przykłady zastosowania

  • Co najmniej jeden sukces:1-(1-p)n.: 1 − (1−p)^n.

Źródła: [2].

Sprawdź na interaktywnym modelu

Porównaj prawdopodobieństwa gałęzi. Różne kolory liści nie oznaczają jednakowych szans.

Najpierw wybieramy źródło A albo B, potem wynik czerwony C albo niebieski N. Prawdopodobieństwo ścieżki to iloczyn liczb na jej gałęziach. Różne liście mogą mieć różne szanse.

CN3/107/10ACN7/103/10B5/105/10Start
Powiększenie i przesuwanie

Plus i minus zmieniają powiększenie. Strzałki przesuwają powiększoną grafikę, Home przywraca całość. Możesz użyć przycisków lub klawiatury po ustawieniu fokusu na grafice.

Opis i oznaczenia

Drzewo kolejnych wyborów; każdy liść oznacza osobny wynik

  • C
  • N
  • 3/10
  • 7/10
  • A
  • C
  • N
  • 7/10
  • 3/10
  • B
  • 5/10
  • 5/10
  • Start
Wybierz ścieżki zdarzenia

Suma szans wybranych ścieżek: 0/100.

P(C) = P(A∩C) + P(B∩C) = 1/2.

P(A|C) = P(A∩C) / P(C) = 3/10.

Źródła: [1] [2] [3].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Kostka

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Oblicz szansę wyniku podzielnego przez 3 na uczciwej kostce.

Sześć równoprawdopodobnych wyników kostki123456

Podzielne przez 3 są wyniki 3 i 6; każdy z sześciu wyników ma tę samą szansę.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Policz sprzyjające wyniki.

  1. Sprzyjają 3 i 6.
  2. Wszystkich jest 6.
  3. P = = .

Odpowiedź: .

Sprawdzenie i interpretacja: Pozostałe cztery wyniki tworzą zdarzenie przeciwne.

Przećwicz ten zakres

2. Suma siedem

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Oblicz szansę sumy 7 na dwóch niezależnych uczciwych kostkach.

1234561(1;1)(1;2)(1;3)(1;4)(1;5)(1;6)2(2;1)(2;2)(2;3)(2;4)(2;5)(2;6)3(3;1)(3;2)(3;3)(3;4)(3;5)(3;6)4(4;1)(4;2)(4;3)(4;4)(4;5)(4;6)5(5;1)(5;2)(5;3)(5;4)(5;5)(5;6)6(6;1)(6;2)(6;3)(6;4)(6;5)(6;6)

Wiersz to pierwsza kostka, kolumna druga. Każde z 36 pól oznacza jedną uporządkowaną parę.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Użyj par uporządkowanych.

  1. Wszystkich par jest 6 · 6 = 36.
  2. Sprzyjają (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1).
  3. P = = .

Odpowiedź: .

Sprawdzenie i interpretacja: Dla każdego pierwszego wyniku istnieje dokładnie jeden sprzyjający drugi.

Przećwicz ten zakres

3. Dwie czerwone

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Losujemy 2 kule bez zwracania z 3 czerwonych i 2 niebieskich. Jaka szansa dwóch czerwonych?

CN2/42/4CCN3/41/4N3/52/5Start

Po każdej pierwszej kuli liczebność urny spada do czterech; gałąź CC ma prawdopodobieństwo 3/5·2/4.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Użyj jednakowo prawdopodobnych par kulek.

  1. Wszystkich par: C(5,2) = 10.
  2. Czerwonych par: C(3,2) = 3.
  3. P = .

Odpowiedź: .

Sprawdzenie i interpretacja: Kolejno: · = .

Przećwicz ten zakres

4. Dokładnie dwa orły

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Rzucamy uczciwą monetą 4 razy. Oblicz szansę dokładnie dwóch orłów.

SP1/21/2SSP1/21/2P1/21/2SSP1/21/2SSP1/21/2P1/21/2P1/21/2SSP1/21/2SSP1/21/2P1/21/2SSP1/21/2SSP1/21/2P1/21/2P1/21/2P1/21/2Start

S to orzeł, P reszka. Wszystkie szesnaście kolejności ma szansę 1/16.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Zastosuj schemat Bernoullego.

  1. C(4,2) = 6 rozmieszczeń.
  2. Każde ma szansę (12)4=116.(1/2)^4 = 1/16.
  3. P = = .

Odpowiedź: .

Sprawdzenie i interpretacja: Sześć par pozycji orłów można wypisać bez powtórzeń.

Przećwicz ten zakres

5. Co najmniej jeden sukces

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: W 3 niezależnych próbach p = . Oblicz szansę co najmniej jednego sukcesu.

SP1/54/5SSP1/54/5P1/54/5SSP1/54/5SSP1/54/5P1/54/5P1/54/5Start

Prawdopodobieństwa ścieżek mnożymy; różne liście nie mają tutaj jednakowych szans.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Odejmij zero sukcesów.

  1. P(0)=(45)3=64125.P(0) = (4/5)^3 = 64/125.
  2. P(co najmniej 1) = 1 − .
  3. P = .

Odpowiedź: .

Sprawdzenie i interpretacja: Dokładnie1:, dokładnie2:, dokładnie3:; suma.

Przećwicz ten zakres

6. Nierówne szanse

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: W 3 niezależnych próbach p = . Oblicz szansę dokładnie 2 sukcesów.

SP2/31/3SSP2/31/3P2/31/3SSP2/31/3SSP2/31/3P2/31/3P2/31/3Start

Dokładnie dwa sukcesy mogą zajść w trzech różnych pozycjach porażki.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Uwzględnij p i 1−p.

  1. C(3,2) = 3.
  2. Jedna kolejność:(23)2·(13)=427.: (2/3)^2 · (1/3) = 4/27.
  3. 3 · = .

Odpowiedź: .

Sprawdzenie i interpretacja: Trzy możliwe pozycje jedynej porażki są rozłączne.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Sumy dwóch kostek mają równe szanse.

Dlaczego to błąd: Różne sumy mają różne liczby par.

Poprawnie: Zliczaj 36 uporządkowanych par.

Błędne rozumowanie: W Bernoullim wystarczy pk(1-p)n-k.p^k(1−p)^(n−k).

Dlaczego to błąd: To szansa tylko jednego rozmieszczenia.

Poprawnie: Pomnóż przez C(n,k).

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Jednakowe szanse wyników pozwalają zastąpić prawdopodobieństwa liczebnościami.
  • Mnożenie oblicza jedną kolejność, współczynnik dwumianowy liczy wszystkie jej rozmieszczenia.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 02.11.2026.

  1. ZPE: Matematyka — liceum i technikum

    Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym

  2. CKE: Rachunek prawdopodobieństwa

    Zakres źródła: Rozdział 14: działania na zdarzeniach, warunkowanie, niezależność i Bernoulli

  3. ZPE: Prawdopodobieństwo klasyczne

    Zakres źródła: Jednakowo prawdopodobne wyniki i losowanie ze zwracaniem oraz bez zwracania