Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: podstawowy i rozszerzenie

Planimetria

Pola figur — zadania złożone

W zadaniach złożonych nie szukaj jednego wzoru zawierającego wszystkie dane. Podziel figurę, dodaj pomocniczą wysokość lub oblicz brakujący bok. Każdy etap ma dostarczyć danych do kolejnego.

Najważniejsze w skrócie

  • P trójkąta = ab sin γ/2
  • P=s(s-a)(s-b)(s-c)=P = √(s(s−a)(s−b)(s−c)) = rs = abc/(4R)/(4R)

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Pola, podobieństwo i trygonometria.

Po tej lekcji

  • Dobierz pole do dostępnych danych
  • Użyj półobwodu i promieni

Dobierz pole do dostępnych danych

Zakres: Podstawowy

Dwa boki i kąt między nimi dają pole trójkąta bez wcześniejszego liczenia wysokości: wysokość jest rzutem jednego boku. Dla obszaru między figurami odejmuj pola, pilnując rozłączności.

P trójkąta = ab sin γ/2

Wysokość do podstawy a wynosi b sin γ.

Kiedy stosujemy: γ jest kątem między a i b.

Przykłady zastosowania

  • a = 6, b = 8, γ = 30° → P = 12.

Źródła: [2].

Użyj półobwodu i promieni

Zakres: Rozszerzenie

Półobwód oznaczamy s=(a+b+c)2.s = (a + b + c)/2. Pole jest równe rs dla promienia wpisanego r oraz abc/(4R)/(4R) dla promienia opisanego R. Gdy znamy tylko trzy boki, można zastosować wzór Herona.

P=s(s-a)(s-b)(s-c)=P = √(s(s−a)(s−b)(s−c)) = rs = abc/(4R)/(4R)

Różne wzory wykorzystują inne zestawy danych, ale opisują to samo pole.

Kiedy stosujemy: Boki muszą tworzyć niedegenerowany trójkąt.

Przykłady zastosowania

  • Boki 13,14,15 mają s = 21 i P = 84.

Źródła: [2].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Dwa boki i kąt

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Oblicz pole trójkąta o bokach 6 i 8 oraz kącie 30° między nimi.

Jak podejść do zadania: Użyj połowy iloczynu i sinusa.

  1. P = 6 · 8 · sin 30°/2.
  2. sin 30° = .
  3. P = = 12.

Odpowiedź: 12.

Sprawdzenie i interpretacja: Wysokość do boku 6 wynosi 8 · = 4; 6 · = 12.

Przećwicz ten zakres

2. Pierścień

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Oblicz pole pierścienia o promieniach 5 i 3.

Jak podejść do zadania: Odejmij pola kół.

  1. Pole zewnętrzne: 25π.
  2. Pole wewnętrzne: 9π.
  3. Różnica to 16π.

Odpowiedź: 16π.

Sprawdzenie i interpretacja: 16π + 9π = 25π.

Przećwicz ten zakres

3. Wysokość z ramienia

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Trapez równoramienny ma podstawy 10 i 4, ramiona 5. Oblicz pole.

Jak podejść do zadania: Najpierw wyznacz wysokość.

  1. Po opuszczeniu wysokości skrajne odcinki mają (10-4)2=3.(10 − 4)/2 = 3.
  2. h=25-9=4.h = √(25 − 9) = 4.
  3. P = (10 + 4) · = 28.

Odpowiedź: 28.

Sprawdzenie i interpretacja: Prostokąt 4 × 4 i dwa trójkąty 3 × dają 16 + 12 = 28.

Przećwicz ten zakres

4. Trzy boki

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Oblicz pole trójkąta o bokach 13,14,15.

Jak podejść do zadania: Użyj wzoru Herona.

  1. s=(13+14+15)2=21.s = (13 + 14 + 15)/2 = 21.
  2. P=21·8·7·6.P = √(21 · 8 · 7 · 6).
  3. Iloczyn wynosi 7056 = 842.

Odpowiedź: 84.

Sprawdzenie i interpretacja: Wysokość do boku 14 wynosi 12; 14 · = 84.

Przećwicz ten zakres

5. Promień wpisany

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Trójkąt ma boki 13,14,15 i pole 84. Oblicz promień wpisany.

Jak podejść do zadania: Przekształć P = rs.

  1. s = 21.
  2. r=Ps=8421.r = P/s = 84/21.
  3. r = 4.

Odpowiedź: 4.

Sprawdzenie i interpretacja: 4 · 21 = 84.

Przećwicz ten zakres

6. Promień opisany

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Trójkąt ma boki 5,12,13. Oblicz pole z R = .

Jak podejść do zadania: Użyj abc/(4R)./(4R).

  1. abc = 5 · 12 · 13 = 780.
  2. 4R = 26.
  3. P = = 30.

Odpowiedź: 30.

Sprawdzenie i interpretacja: Trójkąt jest prostokątny: 5 · = 30.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: P = ab sin γ bez dzielenia przez 2.

Dlaczego to błąd: To pole odpowiedniego równoległoboku.

Poprawnie: Dla trójkąta podziel przez 2.

Błędne rozumowanie: s we wzorze Herona oznacza obwód.

Dlaczego to błąd: s jest połową obwodu.

Poprawnie: s=(a+b+c)2.s = (a + b + c)/2.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Wysokość do podstawy a wynosi b sin γ.
  • Różne wzory wykorzystują inne zestawy danych, ale opisują to samo pole.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 23.10.2026.

  1. ZPE: Matematyka — liceum i technikum

    Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym

  2. CKE: Wybrane wzory matematyczne — planimetria

    Zakres źródła: Rozdział 10: trójkąty, okręgi, podobieństwo i pola