Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: rozszerzenie

Wstęp do analizy matematycznej

Pochodne

Pochodna mierzy lokalne tempo zmiany. Geometrycznie jest współczynnikiem kierunkowym stycznej, gdy taka pochodna istnieje. Do rachunku dobieramy regułę do budowy funkcji: suma, iloczyn, iloraz i złożenie wymagają różnych wzorów.

Najważniejsze w skrócie

  • f′(x)=limf′(x) = lim przy h→0z(f(x+h)-f(x))hh→0 z (f(x+h)−f(x))/h
  • (uv)′=u′v+uv′;(uv)′=(u′v-uv′)v2;(f(g))′=f′(g)g′′; (u/v)′=(u′v−uv′)/v^2; (f(g))′=f′(g)g′
  • (sinx)′=cosx;(cosx)′=-sinx;(lnx)′=1x;(ex)′=ex(sin x)′=cos x; (cos x)′=−sin x; (ln x)′=1/x; (e^x)′=e^x

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Granice, potęgi i funkcje elementarne.

Po tej lekcji

  • Połącz pochodną z tempem zmiany
  • Rozpoznaj zewnętrzne działanie
  • Zachowaj dziedzinę i jednostkę kąta

Połącz pochodną z tempem zmiany

Zakres: Rozszerzenie

Iloraz(f(x+h)-f(x))h(f(x+h)−f(x))/h jest nachyleniem siecznej. Jego granica przy h→0 określa pochodną. Stała nie zmienia wartości, więc jej pochodna wynosi0.

Dla potęg całkowitych stosujemy(xn)′=(x^n)′=nx^(n-1)^(n−1) na ich dziedzinie.

f′(x)=limf′(x) = lim przy h→0z(f(x+h)-f(x))hh→0 z (f(x+h)−f(x))/h

Pochodna jest granicą średnich zmian na coraz krótszym przedziale.

Kiedy stosujemy: Granica musi istnieć; wartość bezwzględna nie ma pochodnej w0.

Przykłady zastosowania

  • (3x2−4x+7)′=6x−4.

Źródła: [2].

Rozpoznaj zewnętrzne działanie

Zakres: Rozszerzenie

Dla iloczynu różniczkujemy kolejno każdy czynnik i dodajemy. Dla ilorazu w liczniku występuje różnica, a mianownik jest kwadratem pierwotnego mianownika. Złożenie wymaga dodatkowego mnożenia przez pochodną funkcji wewnętrznej.

(uv)′=u′v+uv′;(uv)′=(u′v-uv′)v2;(f(g))′=f′(g)g′′; (u/v)′=(u′v−uv′)/v^2; (f(g))′=f′(g)g′

Każda reguła zachowuje zależność obu zmieniających się części.

Kiedy stosujemy: u,v muszą być różniczkowalne; dla ilorazu v≠0.

Przykłady zastosowania

  • ((2x+1)3)′=6(2x+1)2.

Źródła: [5].

Zachowaj dziedzinę i jednostkę kąta

Zakres: Rozszerzenie

Dla funkcji trygonometrycznych standardowe wzory pochodnych zakładają argument w radianach. Logarytm naturalny ma pochodną1x1/x tylko dla x>0;exx>0; e^x jest równe swojej pochodnej.

(sinx)′=cosx;(cosx)′=-sinx;(lnx)′=1x;(ex)′=ex(sin x)′=cos x; (cos x)′=−sin x; (ln x)′=1/x; (e^x)′=e^x

Warunki funkcji pierwotnej nadal obowiązują po przekształceniach.

Kiedy stosujemy: Dla x√x pochodna1(2x)1/(2√x) obowiązuje dla x>0.

Przykłady zastosowania

  • (ln(2x))′=1x(ln(2x))′=1/x dla x>0.

Źródła: [2].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Styczna

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Dla f(x)=x2 oblicz pochodną w2 i równanie stycznej.

Jak podejść do zadania: Wyznacz nachylenie i punkt.

  1. f′(x)=2x, więc f′(2)=4.
  2. Punkt styczności to(2,4).
  3. y−4=4(x−2), czyli y=4x−4.

Odpowiedź: f′(2)=4; styczna y=4x−4.

Sprawdzenie i interpretacja: Styczna przechodzi przez(2,4), a różnica x2−(4x−4)=(x−2)2.

Przećwicz ten zakres

2. Suma i stała

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Oblicz pochodną x3−4x+7.

Jak podejść do zadania: Różniczkuj każdy składnik.

  1. (x3)′=3x2.
  2. (−4x)′=−4, a7′=0.
  3. Suma pochodnych to3x2−4.

Odpowiedź: 3x2−4.

Sprawdzenie i interpretacja: Składnik stały nie wnosi zmiany.

Przećwicz ten zakres

3. Iloczyn

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Oblicz pochodną x2(x+1).

Jak podejść do zadania: Użyj u′v+uv′.

  1. u′=2x, v′=1.
  2. f′=2x(x+1)+x2.
  3. Redukcja daje3x2+2x.

Odpowiedź: 3x2+2x.

Sprawdzenie i interpretacja: Rozwinięcie funkcji do x3+x2 daje tę samą pochodną.

Przećwicz ten zakres

4. Iloraz

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Oblicz pochodną (x2+1)(x-1).(x^2+1)/(x−1).

Jak podejść do zadania: Użyj reguły ilorazu.

  1. Dziedzina: x≠1.
  2. Licznik pochodnej:2x(x−1)−(x2+1).
  3. Po redukcji f′=(x2-2x-1)(x-1)2.f′=(x^2−2x−1)/(x−1)^2.

Odpowiedź: (x2-2x-1)(x-1)2,x≠1.(x^2−2x−1)/(x−1)^2, x≠1.

Sprawdzenie i interpretacja: Dzielenie daje f=x+1+2(x-1);f=x+1+2/(x−1); pochodna1-2(x-1)21−2/(x−1)^2 jest równoważna.

Przećwicz ten zakres

5. Potęga złożenia

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Oblicz pochodną (2x+1)3.

Jak podejść do zadania: Pomnóż pochodną zewnętrzną przez wewnętrzną.

  1. Zewnętrzna sześcienna daje3(2x+1)2.
  2. Pochodna2x+1 wynosi2.
  3. Wynik6(2x+1)2.

Odpowiedź: 6(2x+1)2.

Sprawdzenie i interpretacja: Rozwinięcie funkcji daje8x3+12x2+6x+1; pochodna24x2+24x+6.

Przećwicz ten zakres

6. Sinus złożenia

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Oblicz pochodną sin(3x),sin(3x), argument w radianach.

Jak podejść do zadania: Użyj cosinusa i pochodnej argumentu.

  1. Pochodna sin u to cos u.
  2. u=3x, u′=3.
  3. f′=3cos(3x).

Odpowiedź: 3cos(3x).

Sprawdzenie i interpretacja: Dodatkowy czynnik3 odpowiada trzykrotnie szybszej zmianie argumentu.

Przećwicz ten zakres

7. Logarytm

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Oblicz pochodną ln(2x).ln(2x).

Jak podejść do zadania: Sprawdź dziedzinę i złożenie.

  1. 2x>0, więc x>0.
  2. Pochodna to(1(2x))·2.(1/(2x)) · 2.
  3. Po skróceniu1x.1/x.

Odpowiedź: 1x1/x dla x>0.

Sprawdzenie i interpretacja: ln(2x)=ln2+ln(2x)=ln2+lnx ma tę samą pochodną.

Przećwicz ten zakres

8. Funkcja wykładnicza

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Oblicz pochodną e−2x.

Jak podejść do zadania: Użyj pochodnej funkcji wewnętrznej.

  1. Pochodna eue^u to eu.e^u.
  2. Pochodna−2x wynosi−2.
  3. f′=−2e−2x.

Odpowiedź: −2e−2x.

Sprawdzenie i interpretacja: Pochodna jest ujemna wszędzie, zgodnie z malejącą funkcją.

Przećwicz ten zakres

9. Brak pochodnej

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Czy |x| ma pochodną w0?

Jak podejść do zadania: Porównaj ilorazy różnicowe.

  1. Dla h>0 iloraz |h|h|h|/h wynosi1.
  2. Dla h<0 wynosi−1.
  3. Brak wspólnej granicy.

Odpowiedź: Nie.

Sprawdzenie i interpretacja: Wykres ma narożnik; nie ma jednego nachylenia stycznej.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: (uv)′=u′v′.

Dlaczego to błąd: Pochodna iloczynu jest sumą dwóch składników.

Poprawnie: u′v+uv′.

Błędne rozumowanie: ((2x+1)3)′=3(2x+1)2.

Dlaczego to błąd: Pominięto pochodną wnętrza2.

Poprawnie: 6(2x+1)2.

Błędne rozumowanie: Pochodna ilorazu ma mianownik v.

Dlaczego to błąd: Właściwy mianownik jest kwadratem.

Poprawnie: (u′v-uv′)v2.(u′v−uv′)/v^2.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Pochodna jest granicą średnich zmian na coraz krótszym przedziale.
  • Każda reguła zachowuje zależność obu zmieniających się części.
  • Warunki funkcji pierwotnej nadal obowiązują po przekształceniach.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 23.10.2026.

  1. ZPE: Matematyka — liceum i technikum

    Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym

  2. CKE: Ciągi i pochodna funkcji

    Zakres źródła: Rozdziały 8 i 16: granice ciągów, reguły różniczkowania, monotoniczność i ekstrema

  3. ZPE: Granica funkcji w punkcie według Heinego

    Zakres źródła: Znaczenie granicy, jej niezależność od wartości w punkcie i brak granicy

  4. ZPE: Jak obliczyć granicę niewłaściwą funkcji w punkcie?

    Zakres źródła: Granice nieskończone i zachowanie w sąsiedztwie punktu

  5. ZPE: Pochodna funkcji złożonej

    Zakres źródła: Reguła łańcuchowa i pochodna funkcji wewnętrznej