Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: rozszerzenie

Kombinatoryka

Permutacje

Permutacja ustawia wszystkie elementy w kolejności. Liczba ustawień różnych elementów jest silnią ich liczby. Przy identycznych elementach część zamian nie tworzy nowego wyniku, dlatego dzielimy przez odpowiednie silnie.

Najważniejsze w skrócie

  • n! = n(n−1) · ... · 1; 0! = 1
  • Liczba ustawień z powtórzeniami =n!(n₁!n₂!...)= n!/(n₁!n₂!...)

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Reguła mnożenia.

Po tej lekcji

  • Ustawiaj wszystkie różne obiekty
  • Usuń zamiany nierozróżnialne

Ustawiaj wszystkie różne obiekty

Zakres: Rozszerzenie

Dla n różnych obiektów pierwsze miejsce ma n wyborów, drugie n − 1 i tak aż do ostatniego. Umowa 0! = 1 opisuje jeden pusty porządek i zachowuje spójność wzorów.

n! = n(n−1) · ... · 1; 0! = 1

Każdy uporządkowany wynik wyznacza jedną ścieżkę kolejnych wyborów.

Kiedy stosujemy: Elementy w podstawowym wzorze są różne.

Przykłady zastosowania

  • 4! = 24.

Źródła: [3].

Usuń zamiany nierozróżnialne

Zakres: Rozszerzenie

Dla liter A,A,B trzy miejsca dają 3! pozornych ustawień, ale każdą wersję policzono 2! razy przez zamianę dwóch identycznych A. W warunku sąsiedztwa można potraktować wskazane obiekty jak jeden blok.

Liczba ustawień z powtórzeniami =n!(n₁!n₂!...)= n!/(n₁!n₂!...)

Dzielimy przez liczbę przestawień wewnątrz każdej grupy identycznych elementów.

Kiedy stosujemy: Suma liczebności grup wynosi n.

Przykłady zastosowania

  • A,A,B: 3!/2! = 3.

Źródła: [3].

Sprawdź na interaktywnym modelu

Porównaj wszystkie ustawienia trzech różnych elementów. Każdy występuje dokładnie raz.

Wybieraj elementy rysunku i poznawaj ich własności. To swobodna powtórka bez ocen.

AABCBACBCBACDBCAECABFCBA
Powiększenie i przesuwanie

Plus i minus zmieniają powiększenie. Strzałki przesuwają powiększoną grafikę, Home przywraca całość. Możesz użyć przycisków lub klawiatury po ustawieniu fokusu na grafice.

Opis i oznaczenia

Osobne ustawienia elementów; pozycje i powtórzenia pozostają widoczne

  • A
  • A
  • B
  • C
  • B
  • A
  • C
  • B
  • C
  • B
  • A
  • C
  • D
  • B
  • C
  • A
  • E
  • C
  • A
  • B
  • F
  • C
  • B
  • A
Wybierz elementy (1–4 z 6)

Nie zaznaczono żadnego elementu.

Pomoc do wyboru

Dotknij elementu na rysunku lub wybierz go z listy. Poniżej znajdziesz objaśnienie zaznaczenia.

Wybierz element, aby przeczytać jego opis.

Źródła: [1] [2] [3].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Kolejka

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Na ile sposobów 5 różnych osób ustawi się w kolejce?

5142332415Wybory na kolejnych miejscach

Każda wybrana osoba znika z listy dostępnych na kolejnej pozycji.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Ustaw wszystkie osoby.

  1. Liczby wyborów: 5,4,3,2,1.
  2. Iloczyn to 5!.
  3. 5! = 120.

Odpowiedź: 120.

Sprawdzenie i interpretacja: Dla każdej pierwszej osoby pozostaje 4! = 24 ustawień.

Przećwicz ten zakres

2. Pusty zbiór

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Ile jest ustawień wszystkich elementów pustego zbioru?

∅1Jeden pusty porządek

Pusty zbiór ma jeden porządek bez jakichkolwiek elementów: 0!=1.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Zastosuj konwencję silni.

  1. Nie ma żadnej decyzji o kolejności.
  2. Istnieje jeden pusty porządek.
  3. Zapisujemy 0! = 1.

Odpowiedź: 1.

Sprawdzenie i interpretacja: To zachowuje wzór 1! = 1 · 0!.

Przećwicz ten zakres

3. Powtarzające się litery

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Ile różnych słów można ułożyć ze wszystkich liter A,A,B,B?

AAABBBABABCABBADBAABEBABAFBBAA

Sześć różnych słów. Dwie kopie tej samej litery nie mają odrębnych tożsamości.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Podziel przez zamiany jednakowych liter.

  1. Pozornych ustawień jest 4!.
  2. Dzielimy przez 2! dla A i 2! dla B.
  3. 24(2·2)=6.24/(2 · 2) = 6.

Odpowiedź: 6.

Sprawdzenie i interpretacja: AABB,ABAB,ABBA,BAAB,BABA,BBAA.

Przećwicz ten zakres

4. Dwie osoby obok

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Ile ustawień 5 osób ma Anię i Basię obok siebie?

AABCDEBBACDE

Para tworzy jeden blok wśród czterech obiektów; wewnątrz bloku są dwa porządki.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Zbuduj blok dwóch osób.

  1. Blok i 3 inne osoby tworzą 4 obiekty: 4!.
  2. W bloku kolejności AB i BA: 2.
  3. 4! · 2 = 48.

Odpowiedź: 48.

Sprawdzenie i interpretacja: Cztery możliwe miejsca bloku razy 3! pozostałych razy 2 = 48.

Przećwicz ten zakres

5. Nie obok

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Ile ustawień 5 osób ma Anię i Basię nieobok siebie?

AABCDEBACBDE

Pierwszy przykład ma sąsiedztwo AB, drugi go nie ma. Odejmujemy wszystkie ustawienia z sąsiedztwem.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Odejmij zabronione sąsiedztwo.

  1. Wszystkich jest 5! = 120.
  2. Ustawień z sąsiedztwem jest 48.
  3. 120 − 48 = 72.

Odpowiedź: 72.

Sprawdzenie i interpretacja: 48 + 72 = 120.

Przećwicz ten zakres

6. Zero z przodu

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Ile liczb czterocyfrowych powstaje z 0,1,2,3 użytych po jednym razie?

A0123B1023

Oba zapisy są permutacjami cyfr, lecz tylko drugi przedstawia liczbę czterocyfrową.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Usuń permutacje zaczynające się zerem.

  1. Wszystkich ustawień jest 4! = 24.
  2. Z zerem na początku jest 3! = 6.
  3. 24 − 6 = 18.

Odpowiedź: 18.

Sprawdzenie i interpretacja: 3 możliwe pierwsze cyfry i 3! ustawień reszty dają 18.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: 0! = 0.

Dlaczego to błąd: Umowa silni pustego zbioru daje jeden pusty porządek.

Poprawnie: 0! = 1.

Błędne rozumowanie: Dla A,A,B,B jest 4! różnych słów.

Dlaczego to błąd: Zamiany identycznych liter nie tworzą nowych słów.

Poprawnie: 4!(2!2!)=6.4!/(2!2!) = 6.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Każdy uporządkowany wynik wyznacza jedną ścieżkę kolejnych wyborów.
  • Dzielimy przez liczbę przestawień wewnątrz każdej grupy identycznych elementów.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 02.11.2026.

  1. ZPE: Matematyka — liceum i technikum

    Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym

  2. ZPE: Reguła mnożenia, reguła dodawania

    Zakres źródła: Etapy wyboru, rozłączne przypadki i permutacje

  3. CKE: Silnia i kombinatoryka

    Zakres źródła: Rozdziały 4 i 13: silnia, współczynnik dwumianowy, wariacje i kombinacje