Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: podstawowy i rozszerzenie

Wstęp do analizy matematycznej

Optymalizacja

Optymalizacja szuka największej lub najmniejszej wartości przy narzuconych warunkach. Najtrudniejszy etap to zapis jednej funkcji i jej dziedziny. Rachunek wierzchołka lub pochodnej ma sens dopiero po zbudowaniu poprawnego modelu.

Najważniejsze w skrócie

  • Dla a<0 funkcja kwadratowa ma maksimum wx=-b(2a).w x=−b/(2a).
  • Model → dziedzina → kandydaci → sprawdzenie → odpowiedź.

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Funkcja kwadratowa; w rozszerzeniu pochodne.

Po tej lekcji

  • Zapisz cel w jednej zmiennej
  • Sprawdź znak pochodnej i końce dziedziny

Zapisz cel w jednej zmiennej

Zakres: Podstawowy

Warunek, np.stały obwód, pozwala wyrazić drugi bok przez pierwszy. Dla prostokąta o obwodzie20 boki to x i10−x, więc pole P=x(10−x), a dziedzina0<x<10.

Dla a<0 funkcja kwadratowa ma maksimum wx=-b(2a).w x=−b/(2a).

Parabola skierowana w dół osiąga szczyt w wierzchołku.

Kiedy stosujemy: Wierzchołek musi należeć do dziedziny z treści.

Przykłady zastosowania

  • P=−x2+10x ma maksimum25 dla x=5.

Źródła: [2].

Sprawdź znak pochodnej i końce dziedziny

Zakres: Rozszerzenie

Pochodna zerowa dostarcza kandydatów. Aby potwierdzić optimum, zbadaj zmianę znaku lub porównaj wszystkie wartości i granice. Odpowiedź podaj w wielkościach zadania, nie tylko jako wartość pomocniczej zmiennej.

Model → dziedzina → kandydaci → sprawdzenie → odpowiedź.

Ograniczenia mogą odrzucić algebraicznego kandydata.

Kiedy stosujemy: Na przedziale otwartym kres wartości nie zawsze jest osiągany.

Przykłady zastosowania

  • Minimalizując x+4xx+4/x dla x>0, otrzymujemy x=2.

Źródła: [2].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Największe pole

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Prostokąt ma obwód20. Jakie boki dają największe pole?

Jak podejść do zadania: Zbuduj funkcję kwadratową.

  1. Boki:x i10−x,0<x<10.
  2. P=−x2+10x=25−(x−5)2.
  3. Maksimum25 dla x=5.

Odpowiedź: Boki5 i5; pole25.

Sprawdzenie i interpretacja: Kwadratowy składnik jest nieujemny, więc pole nie przekracza25.

Przećwicz ten zakres

2. Stała suma

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Dwie nieujemne liczby mają sumę12. Znajdź największy iloczyn.

Jak podejść do zadania: Wyraź drugą liczbę przez pierwszą.

  1. Druga to12−x,0≤x≤12.
  2. Iloczyn=36−(x−6)2.
  3. Największa wartość36 dla x=6.

Odpowiedź: 6 i6; iloczyn36.

Sprawdzenie i interpretacja: (x−6)2≥0.

Przećwicz ten zakres

3. Model przychodu

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Cena x zł daje sprzedaż100−2x sztuk,0≤x≤50. Jaką cenę wybrać dla największego przychodu?

Jak podejść do zadania: Pomnóż cenę przez liczbę sztuk.

  1. R=x(100−2x)=−2x2+100x.
  2. Wierzchołek:x=-100(-4)=25.:x=−100/(−4)=25.
  3. Sprzedaż50 sztuk; przychód1250 zł.

Odpowiedź: 25 zł; przychód1250 zł.

Sprawdzenie i interpretacja: R=1250−2(x−25)2≤1250.

Przećwicz ten zakres

4. Minimum z odwrotnością

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Znajdź minimum x+4xx+4/x dla x>0.

Jak podejść do zadania: Zbadaj pochodną.

  1. f′=1-4x2.f′=1−4/x^2.
  2. Zero w dziedzinie:x=2.
  3. Znak zmienia się z−na+, więc minimum f(2)=4.

Odpowiedź: Minimum4 dla x=2.

Sprawdzenie i interpretacja: x+4x-4=(x-2)2x≥0.x+4/x−4=(x−2)^2/x≥0.

Przećwicz ten zakres

5. Pudełko bez pokrywy

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Z kwadratu12×12 wycina się narożniki x×x i składa pudełko. Znajdź x dające największą objętość.

Jak podejść do zadania: Uwzględnij wysokość i oba boki dna.

  1. V=x(12−2x)2,0<x<6.
  2. V′=(12−2x)(12−6x).
  3. W dziedzinie znak przechodzi z+na− przy x=2; V(2)=128.

Odpowiedź: x=2; wymiary8×8×2; objętość128.

Sprawdzenie i interpretacja: Przy krańcach0 i6 objętość dąży do0.

Przećwicz ten zakres

6. Najmniejszy materiał

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Zamknięty walec ma objętość16π. Znajdź r,H minimalizujące pole.

Jak podejść do zadania: Wyraź H przez r.

  1. H=16r2,r>0.H=16/r^2,r>0.
  2. P=2πr2+32πr;P′=4πr-32πr2.P=2πr^2+32π/r; P′=4πr−32π/r^2.
  3. P′=0 daje r3=8,r=2; znak−potem+; H=4.

Odpowiedź: r=2,H=4; minimalne pole24π.

Sprawdzenie i interpretacja: Dla r→0+ lub∞ pole rośnie bez ograniczeń, więc znalezione minimum jest globalne.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Rozwiązanie f′=0 kończy optymalizację.

Dlaczego to błąd: Nie potwierdzono rodzaju punktu ani warunków.

Poprawnie: Sprawdź dziedzinę, znak i granice.

Błędne rozumowanie: Dla pudełka V=x(12−x)2.

Dlaczego to błąd: Z każdego boku usunięto po dwa narożniki.

Poprawnie: Dno ma boki12−2x.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Parabola skierowana w dół osiąga szczyt w wierzchołku.
  • Ograniczenia mogą odrzucić algebraicznego kandydata.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 23.10.2026.

  1. ZPE: Matematyka — liceum i technikum

    Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym

  2. CKE: Ciągi i pochodna funkcji

    Zakres źródła: Rozdziały 8 i 16: granice ciągów, reguły różniczkowania, monotoniczność i ekstrema

  3. ZPE: Granica funkcji w punkcie według Heinego

    Zakres źródła: Znaczenie granicy, jej niezależność od wartości w punkcie i brak granicy

  4. ZPE: Jak obliczyć granicę niewłaściwą funkcji w punkcie?

    Zakres źródła: Granice nieskończone i zachowanie w sąsiedztwie punktu

  5. ZPE: Pochodna funkcji złożonej

    Zakres źródła: Reguła łańcuchowa i pochodna funkcji wewnętrznej