Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: podstawowy i rozszerzenie

Planimetria

Okręgi, kąty i styczne

Zależności w okręgu łączą kąty, cięciwy i odcinki stycznych. Zawsze nazwij łuk lub cięciwę, na których oparty jest kąt. Dzięki temu unikniesz porównania kątów opartych na innych częściach okręgu.

Najważniejsze w skrócie

  • Kąt wpisany = połowa miary odpowiedniego łuku.
  • PA · PB = PC · PD; PT2 = PA · PB

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Kąty i Pitagoras.

Po tej lekcji

  • Porównaj kąty oparte na tym samym łuku
  • Połącz iloczyny odcinków

Porównaj kąty oparte na tym samym łuku

Zakres: Podstawowy

Kąt środkowy jest dwa razy większy od wpisanego opartego na tym samym łuku. Kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty. Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej.

Kąt wpisany = połowa miary odpowiedniego łuku.

Decyduje łuk nie zawierający wierzchołka kąta wpisanego.

Kiedy stosujemy: Dwa kąty wpisane porównuj przy zgodnym wyborze łuku.

Przykłady zastosowania

  • Łuk 100° daje kąt wpisany 50°.

Źródła: [2].

Połącz iloczyny odcinków

Zakres: Rozszerzenie

Dla przecinających się wewnątrz cięciw iloczyny długości ich części są równe. Dla punktu na zewnątrz kwadrat długości stycznej jest równy iloczynowi zewnętrznego odcinka siecznej i całej siecznej. W czworokącie wpisanym przeciwległe kąty sumują się do 180°.

PA · PB = PC · PD; PT2 = PA · PB

Przy siecznej zewnętrznej PB oznacza całą odległość od P do dalszego przecięcia.

Kiedy stosujemy: Nie myl całej siecznej z jej częścią wewnątrz okręgu.

Przykłady zastosowania

  • Styczna: PA = 4, PB = 9 → PT = 6.

Źródła: [2].

Sprawdź na interaktywnym modelu

Porównuj odcinki zewnętrzny, cały i styczny. Nakładające się odcinki PA i PB możesz wybrać jednoznacznie z listy.

Wybieraj elementy rysunku i poznawaj ich własności. To swobodna powtórka bez ocen.

TPAOBDane z zadaniaP: punkt poza okręgiemT: punkt styczności
Powiększenie i przesuwanie

Plus i minus zmieniają powiększenie. Strzałki przesuwają powiększoną grafikę, Home przywraca całość. Możesz użyć przycisków lub klawiatury po ustawieniu fokusu na grafice.

Opis i oznaczenia

Okrąg z nazwanymi punktami i odcinkami; podano wyłącznie dane zadania i symbole.

  • T
  • P
  • A
  • O
  • B
  • Dane z zadania
  • P: punkt poza okręgiem
  • T: punkt styczności
Wybierz element

Nie zaznaczono żadnego elementu.

Pomoc do wyboru

Wybierz element rysunku lub listy. Zobaczysz wyjaśnienie; ta eksploracja nie jest oceniana.

Wybierz element, aby przeczytać jego opis.

Źródła: [1] [2].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Kąt wpisany

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Kąt środkowy oparty na tym samym łuku ma 110°. Oblicz wpisany.

BOCADane z zadaniaKąt środkowy dla łuku AB: 110°Szukany kąt: ACB

Kąt środkowy i wpisany odnoszą się do tego samego łuku AB, który nie zawiera punktu C. Szukana miara kąta ACB nie jest podpisana.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Weź połowę.

  1. Kąty dotyczą tego samego łuku.
  2. 110°/2 = 55°.
  3. Kąt wpisany wynosi 55°.

Odpowiedź: 55°.

Sprawdzenie i interpretacja: 2 · 55° = 110°.

Przećwicz ten zakres

2. Kąt na średnicy

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: A i B są końcami średnicy, C leży na okręgu i jest inne niż A,B. Oblicz kąt ACB.

OBCADane z zadaniaAB jest średnicąC leży na okręguSzukany kąt: ACB

Końce średnicy A i B oraz punkt C leżą na jednym okręgu. Nie dodano wartości ani znacznika szukanego kąta.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Użyj łuku półokręgu.

  1. Łuk AB bez C ma miarę 180°.
  2. Kąt wpisany to połowa tej miary.
  3. 180°/2 = 90°.

Odpowiedź: 90°.

Sprawdzenie i interpretacja: Trójkąt ACB jest prostokątny.

Przećwicz ten zakres

3. Styczna i promień

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: OP = 13, promień OT = 5, PT jest styczną w T. Oblicz PT.

TOPDane z zadaniaOP = 13OT = 5PT = x; styczność w T

Promień OT dochodzi do punktu styczności T. Odcinki OP, OT i PT tworzą rzeczywisty trójkąt; długości PT nie dopisano.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Wykorzystaj prostopadłość OT i PT.

  1. PT2 = OP2 − OT2.
  2. PT2 = 169 − 25 = 144.
  3. PT = 12.

Odpowiedź: 12.

Sprawdzenie i interpretacja: 52 + 122 = 132.

Przećwicz ten zakres

4. Przecinające się cięciwy

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Jedna cięciwa jest podzielona na 3 i 8, druga na 4 i x. Oblicz x.

CPADBDane z zadaniaPA = 3; PB = 8PC = 4; PD = x

Obie cięciwy należą do jednego okręgu i przecinają się w P. Podane są długości części, nie całych cięciw. Prostopadłe ułożenie na tym przykładzie nie jest założeniem twierdzenia.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Porównaj iloczyny części.

  1. 3 · 8 = 4x.
  2. 24 = 4x.
  3. x = 6.

Odpowiedź: 6.

Sprawdzenie i interpretacja: 3 · 8 = 4 · 6.

Przećwicz ten zakres

5. Styczna i sieczna

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Zewnętrzna część siecznej ma 4, a cała sieczna 9. Oblicz długość stycznej z tego samego punktu.

TPAOBDane z zadaniaPA = 4; PB = 9PT = x; styczność w T

P leży poza okręgiem. PA jest częścią zewnętrzną, PB całą sieczną, a PT odcinkiem stycznej; nie podpisano długości obliczanych w rozwiązaniu.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Użyj kwadratu stycznej.

  1. t2 = 4 · 9 = 36.
  2. t jest długością dodatnią.
  3. t = 6.

Odpowiedź: 6.

Sprawdzenie i interpretacja: Nie używamy 9 − 4 zamiast całej siecznej 9.

Przećwicz ten zakres

6. Czworokąt wpisany

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Jeden kąt czworokąta wpisanego ma 73°. Oblicz przeciwległy.

DACBDane z zadaniaKąt DAB = 73°Szukany kąt: BCD

Wszystkie cztery wierzchołki leżą na tym samym okręgu. Zaznaczone dane odpowiadają rzeczywistemu kątowi przy A; przeciwległy kąt pozostaje niewiadomą.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Odejmij od 180°.

  1. Kąty przeciwległe sumują się do 180°.
  2. 180° − 73° = 107°.
  3. To kąt rozwarty.

Odpowiedź: 107°.

Sprawdzenie i interpretacja: 73 + 107 = 180.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Styczna jest prostopadła do dowolnego promienia.

Dlaczego to błąd: Prostopadły jest promień do punktu styczności.

Poprawnie: Wskaż właściwy odcinek OT.

Błędne rozumowanie: t2 = odcinek zewnętrzny · odcinek wewnętrzny.

Dlaczego to błąd: Drugi czynnik ma być całą sieczną od punktu zewnętrznego.

Poprawnie: t2 = PA · PB.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Decyduje łuk nie zawierający wierzchołka kąta wpisanego.
  • Przy siecznej zewnętrznej PB oznacza całą odległość od P do dalszego przecięcia.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 02.11.2026.

  1. ZPE: Matematyka — liceum i technikum

    Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym

  2. CKE: Wybrane wzory matematyczne — planimetria

    Zakres źródła: Rozdział 10: trójkąty, okręgi, podobieństwo i pola