Matematyka
Średni — liceum i technikum
Zakres materiału: podstawowy
Odczytywanie wykresów
Wykres pokazuje wszystkie dopuszczalne pary argument–wartość. Aby odczytać f(x), idź od x pionowo do wykresu, a potem poziomo do osi Y. Zadanie odwrotne f(x)=a zaczyna się od poziomu a i może mieć kilka odpowiedzi.
Najważniejsze w skrócie
- f(x) odczytujemy pionowo od argumentu.
- Końce przedziałów zależą od osiągania wartości.
Co warto wiedzieć na początek
Przydatne pojęcia i umiejętności
- Układ współrzędnych.
Po tej lekcji
- Wybierz kierunek odczytu
- Rozpoznaj, czy punkt należy do wykresu
Wybierz kierunek odczytu
Zakres: Podstawowy
Dla jednego argumentu funkcja ma jedną wartość. Ta sama wartość y może jednak odpowiadać kilku argumentom. Miejsca zerowe odczytujemy na przecięciu z osią X.
f(x) odczytujemy pionowo od argumentu.
Wykres funkcji przecina pionową prostą najwyżej raz.
Kiedy stosujemy: Na rysunku sprawdź skalę obu osi.
Przykłady zastosowania
- Na pokazanej łamanej f(0)=−1.
Powiększenie i przesuwanie
Plus i minus zmieniają powiększenie. Strzałki przesuwają powiększoną grafikę, Home przywraca całość. Możesz użyć przycisków lub klawiatury po ustawieniu fokusu na grafice.
Opis i oznaczenia
Łamana od punktu(−2,1) do(0,−1) i dalej do(3,2), oba końce należą do wykresu.
- A: (-2; 1)
- B: (0; -1)
- C: (3; 2)
Punkty wykresu w tabeli
Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku
- x
- -2
- y
- 1
- x
- 0
- y
- -1
- x
- 3
- y
- 2
| x | y |
|---|---|
| -2 | 1 |
| 0 | -1 |
| 3 | 2 |
| x | y |
|---|---|
| -2 | 1 |
| 0 | -1 |
| 3 | 2 |
Przesuń rysunek w poziomie, aby odczytać wszystkie podpisy.
Źródła: [2].
Rozpoznaj, czy punkt należy do wykresu
Zakres: Podstawowy
Zamalowany punkt należy do wykresu, puste kółko nie. Dziedzina to rzut wykresu na oś X, zbiór wartości na oś Y. Nie dopisujemy odcinka poza wskazanymi końcami.
Końce przedziałów zależą od osiągania wartości.
Samo zbliżanie do punktu nie oznacza jego przynależności.
Kiedy stosujemy: Jeśli w tym samym x istnieje zamalowany punkt na innym poziomie, on określa f(x).
Przykłady zastosowania
- Zamknięte końce łamanej dają dziedzinę[−2,3].
Źródła: [2].
Sprawdź na interaktywnym modelu
Omówione przykłady krok po kroku
1. Wartość w0
Zakres: Podstawowy
Pytanie lub sytuacja: Z pokazanej łamanej A(−2,1),B(0,−1),C(3,2) odczytaj f(0).
Powiększenie i przesuwanie
Plus i minus zmieniają powiększenie. Strzałki przesuwają powiększoną grafikę, Home przywraca całość. Możesz użyć przycisków lub klawiatury po ustawieniu fokusu na grafice.
Opis i oznaczenia
Łamana od punktu(−2,1) do(0,−1) i dalej do(3,2), oba końce należą do wykresu.
- A: (-2; 1)
- B: (0; -1)
- C: (3; 2)
Punkty wykresu w tabeli
Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku
- x
- -2
- y
- 1
- x
- 0
- y
- -1
- x
- 3
- y
- 2
| x | y |
|---|---|
| -2 | 1 |
| 0 | -1 |
| 3 | 2 |
| x | y |
|---|---|
| -2 | 1 |
| 0 | -1 |
| 3 | 2 |
Przesuń rysunek w poziomie, aby odczytać wszystkie podpisy.
Jak podejść do zadania: Znajdź punkt nad x=0.
- Wykres zawiera B=(0,−1).
- Pierwsza współrzędna to argument0.
- Druga to wartość−1.
Odpowiedź: −1.
Sprawdzenie i interpretacja: Punkt B jest punktem wykresu.
2. Miejsca zerowe
Zakres: Podstawowy
Pytanie lub sytuacja: Odczytaj miejsca zerowe tej łamanej.
Odczytaj miejsca zerowe tej łamanej.
Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.
Jak podejść do zadania: Znajdź przecięcia z y=0.
- Odcinek AB ma nachylenie−1 i przechodzi przez(−1,0).
- Odcinek BC ma nachylenie1 i przechodzi przez(1,0).
- Są dwa argumenty.
Odpowiedź: −1 i1.
Sprawdzenie i interpretacja: Na obu odcinkach przy tych x otrzymujemy y=0.
3. Dziedzina
Zakres: Podstawowy
Pytanie lub sytuacja: Podaj dziedzinę pokazanej łamanej z zamkniętymi końcami.
Podaj dziedzinę pokazanej łamanej z zamkniętymi końcami.
Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.
Jak podejść do zadania: Rzutuj na oś X.
- Najmniejsze x to−2.
- Największe x to3.
- Wszystkie pośrednie x występują.
Odpowiedź: [−2,3].
Sprawdzenie i interpretacja: Końce należą do wykresu.
4. Zbiór wartości
Zakres: Podstawowy
Pytanie lub sytuacja: Podaj zbiór wartości tej łamanej.
Podaj zbiór wartości tej łamanej.
Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.
Jak podejść do zadania: Rzutuj na oś Y.
- Najniższe y=−1 w B.
- Najwyższe y=2 w C.
- Odcinki przyjmują wszystkie wartości między nimi.
Odpowiedź: [−1,2].
Sprawdzenie i interpretacja: Oba skrajne punkty są zamknięte.
5. Dwa argumenty
Zakres: Podstawowy
Pytanie lub sytuacja: Dla jakich x pokazana łamana ma wartość1?
Dla jakich x pokazana łamana ma wartość1?
Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.
Jak podejść do zadania: Przetnij ją poziomą y=1.
- Punkt A daje x=−2.
- Na BC wzór y=x−1 daje x=2.
- Innych przecięć nie ma.
Odpowiedź: x=−2 lub x=2.
Sprawdzenie i interpretacja: f(−2)=1 i f(2)=1.
6. Puste kółko
Zakres: Podstawowy
Pytanie lub sytuacja: Odcinek y=x ma pusty początek(0,0) i pełny koniec(2,2). Podaj dziedzinę.
Odcinek y=x ma pusty początek(0,0) i pełny koniec(2,2). Podaj dziedzinę.
Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.
Jak podejść do zadania: Odczytaj przynależność końców.
- 0 jest wykluczone.
- 2 jest włączone.
- Wszystkie x między nimi są dozwolone.
Odpowiedź: (0,2].
Sprawdzenie i interpretacja: Nawias okrągły przy0 i kwadratowy przy2 kodują typ punktu.
Typowe błędy i poprawne rozumowanie
Błędne rozumowanie: f(0)=0 na każdym wykresie.
Dlaczego to błąd: Argument0 nie wymusza wyniku0.
Poprawnie: Odczytaj przecięcie z osią Y.
Błędne rozumowanie: Puste kółko należy do wykresu.
Dlaczego to błąd: Oznacza wyłączony punkt.
Poprawnie: Pełny punkt oznacza przynależność.
Podsumowanie — zapamiętaj
- Wykres funkcji przecina pionową prostą najwyżej raz.
- Samo zbliżanie do punktu nie oznacza jego przynależności.
Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach
Źródła i dalsza nauka
Data sprawdzenia materiału: 02.11.2026.
- ZPE: Matematyka — liceum i technikum
Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym
- ZPE: Przekształcanie wykresów funkcji kwadratowej
Zakres źródła: Przesunięcia, odbicia i własności wykresów
- CKE: Funkcja kwadratowa, potęgi i logarytmy
Zakres źródła: Rozdziały2,3,7: dziedziny, znaki, wierzchołek i zbiory wartości