Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: rozszerzenie

Statystyka

Odchylenie standardowe

Odchylenie standardowe jest nieujemnym pierwiastkiem z wariancji. Wraca do jednostki danych i pozwala opisywać rozrzut w tej samej skali co wyniki. Sama średnia nie mówi, czy obserwacje są blisko siebie.

Najważniejsze w skrócie

  • σ=Vσ = √V
  • σ(cx + b) = |c|σ(x)

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Wariancja i pierwiastki.

Po tej lekcji

  • Wyciągnij pierwiastek dopiero z całej wariancji
  • Porównaj rozrzut po przekształceniu

Wyciągnij pierwiastek dopiero z całej wariancji

Zakres: Rozszerzenie

Najpierw obliczamy wariancję całego zbioru, a następnie jej pierwiastek. Pierwiastek ze średniej kwadratów odchyleń nie jest średnią modułów odchyleń.

Jeśli dane są w cm, wariancja jest w cm2, a odchylenie znów w cm.

σ=Vσ = √V

Pierwiastek odwraca kwadrat jednostki i jest nieujemny.

Kiedy stosujemy: V liczymy z mianownikiem n zgodnie z konwencją lekcji.

Przykłady zastosowania

  • V = 9 cm2 → σ = 3 cm.

Źródła: [3].

Porównaj rozrzut po przekształceniu

Zakres: Rozszerzenie

Dodanie stałej do danych nie zmienia odchylenia. Mnożenie wszystkich danych przez c mnoży odchylenie przez |c|. Dwie grupy o tej samej średniej mogą mieć bardzo różne odchylenia.

σ(cx + b) = |c|σ(x)

Wariancja skaluje się przez c2, a pierwiastek z c2 to |c|.

Kiedy stosujemy: Nie porównuj samych odchyleń przy różnych jednostkach bez zamiany skali.

Przykłady zastosowania

  • Zmiana cm na mm mnoży odchylenie przez10.

Źródła: [3].

Sprawdź na interaktywnym modelu

Porównaj rozrzut, wariancję i nieujemny pierwiastek z wariancji.

Wpisz własny zestaw, zachowując powtórzenia. Zmień dane i obserwuj wynik. Wariancję całego zestawu dzielimy przez n.

Od 1 do 24 liczb z zakresu −100…100, do dwóch miejsc po przecinku. Oddzielaj je średnikiem lub spacją.

34567[1]Średnia = 5

Oznaczenia grafiki

  • Każda kropka oznacza jedną podaną obserwację
Powiększenie i przesuwanie

Plus i minus zmieniają powiększenie. Strzałki przesuwają powiększoną grafikę, Home przywraca całość. Możesz użyć przycisków lub klawiatury po ustawieniu fokusu na grafice.

Opis i oznaczenia

Wszystkie obserwacje na wspólnej, równomiernej osi; powtórzenia i bliskie wartości układamy pionowo, zachowując dokładne położenia na osi

  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • Każda kropka oznacza jedną podaną obserwację
  • Średnia = 5

Pionowa linia przerywana oznacza średnią. Poziome odcinki pokazują odległości obserwacji od średniej, w tej samej skali co oś.

Średnia = 5. Liczba obserwacji n = 2.

Wariancja = Σ(x − średnia)² / n = 1 ≈ 1.

Odchylenie standardowe σ = 1 ≈ 1.

Dodanie stałej nie zmienia rozrzutu. Pomnożenie danych przez k mnoży wariancję przez k², a odchylenie przez |k|.

Źródła: [1] [2] [3].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Z wariancji

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Wariancja zbioru wynosi 9 cm2. Oblicz odchylenie.

Pole = 9 cm²Bok σ = ?

Odchylenie ma jednostkę cm, a wariancja cm²; bok kwadratu jest nieujemny.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Wyciągnij nieujemny pierwiastek.

  1. σ=9.σ = √9.
  2. 9=3.√9 = 3.
  3. Jednostka wraca do cm.

Odpowiedź: 3 cm.

Sprawdzenie i interpretacja: (3 cm)2 = 9 cm2.

Przećwicz ten zakres

2. Z danych

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Oblicz odchylenie 2,4,6.

1234567Dane

W obliczeniu wariancji uczestniczą wszystkie trzy obserwacje.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Najpierw wariancja.

  1. Średnia = 4.
  2. V=(4+0+4)3=83.V = (4 + 0 + 4)/3 = 8/3.
  3. σ=83=263.σ = √(8/3) = 2√6/3.

Odpowiedź: 263.2√6/3.

Sprawdzenie i interpretacja: (263)2=249=83.(2√6/3)^2 = 24/9 = 8/3.

Przećwicz ten zakres

3. Jednakowe wyniki

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Oblicz odchylenie 5,5,5,5.

456Dane

Cztery identyczne obserwacje mają zerowy rozrzut poziomy.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Sprawdź brak odchyleń.

  1. Średnia = 5.
  2. Wariancja wynosi0.
  3. σ=0=0.σ = √0 = 0.

Odpowiedź: 0.

Sprawdzenie i interpretacja: Każda obserwacja jest dokładnie średnią.

Przećwicz ten zakres

4. Te same średnie

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Porównaj odchylenia zbiorów 4,6 i 0,10.

-10,523,556,589,511Zestaw A-10,523,556,589,511Zestaw B

Wspólna skala i wspólna średnia 5 pozwalają porównać rzeczywiste odległości od środka.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Policz odległości od wspólnej średniej.

  1. Obie średnie wynoszą5.
  2. Pierwsze odchylenia mają moduł1, więc σ₁=1.
  3. Drugie mają moduł5, więc σ₂=5.

Odpowiedź: Drugi zbiór ma większe odchylenie:5 wobec1.

Sprawdzenie i interpretacja: Rozrzut wokół tej samej średniej jest w drugim zbiorze pięciokrotny.

Przećwicz ten zakres

5. Mnożenie przez ujemną

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Dane mają σ = 2. Każdą obserwację pomnożono przez −3. Oblicz nowe σ.

Zbiór Xσ = 2Zbiór Yσ = ?Y = -3X + (0)

Ujemna skala odwraca kierunek, lecz długości odchyleń mnoży przez moduł trzy.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Użyj modułu współczynnika.

  1. |−3| = 3.
  2. Nowe odchylenie = 3 · 2.
  3. Wynik jest nieujemny.

Odpowiedź: 6.

Sprawdzenie i interpretacja: Wariancja rośnie9razy: z4do36.

Przećwicz ten zakres

6. Dodanie stałej

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Odchylenie temperatur wynosi 4°C. Wszystkie wartości zwiększono o7°C. Jakie jest nowe odchylenie?

Zbiór Xσ = 4°CZbiór Yσ = ?Y = 1X + (7)

Przesunięcie wszystkich temperatur zachowuje różnice od ich średniej.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Sprawdź różnice od średniej.

  1. Średnia rośnie o7°C.
  2. Odchylenia od niej pozostają identyczne.
  3. σ nie zmienia się.

Odpowiedź: 4°C.

Sprawdzenie i interpretacja: (x+7)−(m+7)=x−m.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Odchylenie może być ujemne.

Dlaczego to błąd: Jest nieujemnym pierwiastkiem z wariancji.

Poprawnie: σ ≥ 0.

Błędne rozumowanie: Średnia taka sama oznacza ten sam rozrzut.

Dlaczego to błąd: Położenie i rozproszenie to różne cechy.

Poprawnie: Porównaj np.4,6 z0,10.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Pierwiastek odwraca kwadrat jednostki i jest nieujemny.
  • Wariancja skaluje się przez c2, a pierwiastek z c2 to |c|.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 02.11.2026.

  1. ZPE: Matematyka — liceum i technikum

    Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym

  2. ZPE: Średnia arytmetyczna, średnia ważona, mediana, odchylenie standardowe

    Zakres źródła: Definicje średnich, mediany, wariancji i odchylenia

  3. CKE: Parametry danych statystycznych

    Zakres źródła: Rozdział 15: parametry całego podanego zbioru