Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: rozszerzenie

Prawdopodobieństwo

Niezależność zdarzeń

Zdarzenia niezależne nie zmieniają wzajemnie swoich prawdopodobieństw. Nie oznacza to, że nie mogą zajść razem. Przeciwnie, dwa rozłączne zdarzenia o dodatnich prawdopodobieństwach są zależne.

Najważniejsze w skrócie

  • A i B niezależne ⇔ P(A ∩ B) = P(A)P(B)
  • P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne)

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Prawdopodobieństwo warunkowe.

Po tej lekcji

  • Porównaj przecięcie z iloczynem
  • Mnożenie wymaga odpowiedniego założenia

Porównaj przecięcie z iloczynem

Zakres: Rozszerzenie

Niezależność sprawdzamy przez P(A ∩ B) = P(A)P(B). Równość działa także wtedy, gdy któreś zdarzenie ma prawdopodobieństwo zero. Opis „różne zdarzenia” sam niczego nie gwarantuje.

A i B niezależne ⇔ P(A ∩ B) = P(A)P(B)

Gdy P(B) > 0, jest to równoważne P(A|B) = P(A).

Kiedy stosujemy: Nie zakładaj niezależności bez modelu lub sprawdzenia.

Przykłady zastosowania

  • Dwa niezależne rzuty monetą nie wpływają na siebie.

Źródła: [2].

Mnożenie wymaga odpowiedniego założenia

Zakres: Rozszerzenie

Przy wspólnej niezależności wielu prób prawdopodobieństwo wszystkich sukcesów mnożymy. Brak sukcesu we wszystkich próbach jest iloczynem szans porażki; zdarzenie „co najmniej jeden” policzymy przez dopełnienie.

Niezależność par zdarzeń nie zawsze oznacza wspólną niezależność całego zestawu.

P(co najmniej jedno) = 1 − P(żadne)

Dla niezależnych prób P(żadne) jest iloczynem szans niepowodzenia.

Kiedy stosujemy: Dla trzech i więcej zdarzeń potrzebna jest wspólna, nie tylko parami, niezależność.

Przykłady zastosowania

  • Dwa niezależne sukcesy z szansami i dają .

Źródła: [2].

Sprawdź na interaktywnym modelu

Szanse drugiej próby są takie same po obu wynikach pierwszej. Mnożymy wzdłuż ścieżki, dodajemy między rozłącznymi ścieżkami.

Wybieraj elementy rysunku i poznawaj ich własności. To swobodna powtórka bez ocen.

SP2/31/3SSP2/31/3P2/31/3Start
Powiększenie i przesuwanie

Plus i minus zmieniają powiększenie. Strzałki przesuwają powiększoną grafikę, Home przywraca całość. Możesz użyć przycisków lub klawiatury po ustawieniu fokusu na grafice.

Opis i oznaczenia

Drzewo kolejnych wyborów; każdy liść oznacza osobny wynik

  • S
  • P
  • 2/3
  • 1/3
  • S
  • S
  • P
  • 2/3
  • 1/3
  • P
  • 2/3
  • 1/3
  • Start
Wybierz elementy

Nie zaznaczono żadnego elementu.

Pomoc do wyboru

Dotknij elementu na rysunku lub wybierz go z listy. Poniżej znajdziesz objaśnienie zaznaczenia.

Wybierz element, aby przeczytać jego opis.

Źródła: [1] [2] [3].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Sprawdzenie

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: P(A) = , P(B) = , P(A ∩ B) = . Czy są niezależne?

P(A)=1/2P(B)=1/3A bez BP=1/6B bez A

Podane przecięcie porównujemy z iloczynem dwóch podanych szans. Powierzchnie okręgów są schematem przynależności, nie miarą szans.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Porównaj iloczyn.

  1. P(A)P(B) = · = .
  2. Jest równy podanemu przecięciu.
  3. Definicja jest spełniona.

Odpowiedź: Tak.

Sprawdzenie i interpretacja: P(A|B)=(16)(13)=12.P(A|B) = (1/6)/(1/3) = 1/2.

Przećwicz ten zakres

2. Brak niezależności

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: P(A) = , P(B) = , P(A ∩ B) = . Czy niezależne?

P(A)=1/2P(B)=1/2A bez BP=1/3B bez A

Wspólna szansa jest podana oddzielnie. Samo nakładanie się zdarzeń nie rozstrzyga niezależności.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Policz oczekiwany iloczyn.

  1. Iloczyn wynosi .
  2. ≠ .
  3. Zdarzenia są zależne.

Odpowiedź: Nie.

Sprawdzenie i interpretacja: P(A|B) = , inne niż .

Przećwicz ten zakres

3. Rozłączne

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: A i B są rozłączne, oba mają prawdopodobieństwo . Czy niezależne?

AA: 1/4BB: 1/4CA ∩ B: 0

Rozłączne zdarzenia o dodatnich szansach nie są niezależne.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Porównaj zero z iloczynem.

  1. P(A ∩ B) = 0.
  2. P(A)P(B) = .
  3. Wartości nie są równe.

Odpowiedź: Nie.

Sprawdzenie i interpretacja: Zajście B wyklucza A, więc zmienia jego szansę do zera.

Przećwicz ten zakres

4. Dwie niezależne próby

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Niezależne urządzenia działają z szansami i . Jaka szansa, że działają oba?

II działaII nie3/41/4I działaII działaII nie3/41/4I nie4/51/5Start

Druga niezależna próba ma te same szanse po obu wynikach pierwszej.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Pomnóż dzięki niezależności.

  1. P = · .
  2. Skracamy czynnik 4.
  3. P = .

Odpowiedź: .

Sprawdzenie i interpretacja: Wynik jest nie większy od żadnej z pojedynczych szans.

Przećwicz ten zakres

5. Przynajmniej jedno działa

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Dla tych samych urządzeń oblicz szansę, że działa co najmniej jedno.

DN3/41/4DDN3/41/4N4/51/5Start

D oznacza działanie. Co najmniej jedno urządzenie działa na wszystkich ścieżkach oprócz NN.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Odejmij awarię obu.

  1. Szanse awarii: i .
  2. Awaria obu: .
  3. 1 − = .

Odpowiedź: .

Sprawdzenie i interpretacja: Suma zdarzeń: + − = .

Przećwicz ten zakres

6. Trzy rzuty

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Rzucamy niezależnie uczciwą monetą 3 razy. Oblicz szansę trzech orłów.

SP1/21/2SSP1/21/2P1/21/2SSP1/21/2SSP1/21/2P1/21/2P1/21/2Start

Trzy wspólnie niezależne rzuty: osiem uporządkowanych wyników, każdy z szansą 1/8.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Użyj wspólnej niezależności.

  1. Każdy orzeł ma szansę .
  2. Mnożymy trzy szanse.
  3. (12)3=18.(1/2)^3 = 1/8.

Odpowiedź: .

Sprawdzenie i interpretacja: Wśród 8 równoprawdopodobnych ciągów tylko OOO jest sprzyjający.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Zdarzenia rozłączne są niezależne.

Dlaczego to błąd: Przy dodatnich szansach rozłączność oznacza wykluczanie się.

Poprawnie: Porównaj 0 z dodatnim P(A)P(B).

Błędne rozumowanie: Zawsze P(A ∩ B) = P(A)P(B).

Dlaczego to błąd: To szczególna własność niezależności.

Poprawnie: Ogólnie użyj P(B)P(A|B).

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Gdy P(B) > 0, jest to równoważne P(A|B) = P(A).
  • Dla niezależnych prób P(żadne) jest iloczynem szans niepowodzenia.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 02.11.2026.

  1. ZPE: Matematyka — liceum i technikum

    Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym

  2. CKE: Rachunek prawdopodobieństwa

    Zakres źródła: Rozdział 14: działania na zdarzeniach, warunkowanie, niezależność i Bernoulli

  3. ZPE: Prawdopodobieństwo klasyczne

    Zakres źródła: Jednakowo prawdopodobne wyniki i losowanie ze zwracaniem oraz bez zwracania