Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: podstawowy i rozszerzenie

Równania i nierówności

Nierówności kwadratowe

Szukamy argumentów, dla których trójmian ma właściwy znak. Wykres paraboli i postać iloczynowa opisują tę samą informację. O znaku decydują kierunek ramion, liczba pierwiastków i ich krotność; o dołączeniu końców — znak ostry lub nieostry.

Najważniejsze w skrócie

  • Przy≤ lub≥ rozpatrz także miejsca zerowe.
  • Nie przenoś mechanicznie reguły dwóch pierwiastków na deltę 0 lub ujemną.

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Pierwiastki trójmianu i przedziały.

Po tej lekcji

  • Znak między pierwiastkami i poza nimi
  • Jedno miejsce zerowe lub żadne

Znak między pierwiastkami i poza nimi

Dla a>0 i dwóch pierwiastków x1<x2 iloczyn a(x−x1)(x−x2) jest dodatni poza nimi, ujemny wewnątrz. Dla a <0 znaki się odwracają. Samo hasło „między pierwiastkami” nie wystarcza: trzeba znać znak a i żądaną nierówność.

Przy≤ lub≥ rozpatrz także miejsca zerowe.

W pierwiastkach wartość wynosi 0, więc spełnia nierówność nieostrą.

Kiedy stosujemy: Założenie dwóch różnych pierwiastków wymaga Δ>0.

Przykłady zastosowania

  • (x−1)(x−3)≤0 daje[1; 3].

Źródła: [1].

Jedno miejsce zerowe lub żadne

Dla Δ<0 trójmian zachowuje znak a dla każdego rzeczywistego x. Dla Δ=0 postać a(x−p)2 ma znak a poza p, a w p jest zerem. Dlatego dodatni kwadrat może dać wszystkie liczby, jedną liczbę albo zbiór pusty zależnie od porównania z0.

Nie przenoś mechanicznie reguły dwóch pierwiastków na deltę 0 lub ujemną.

Parabola może nie przecinać osi albo tylko jej dotykać.

Kiedy stosujemy: Rozwiązania zapisuj w R.

Przykłady zastosowania

  • (x+2)2<0 nie ma rozwiązań.

Źródła: [1].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Dodatni trójmian

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Rozwiąż x2−4x+3>0.

Jak podejść do zadania: Znajdź pierwiastki i znak ramion.

  1. (x−1)(x−3)>0.
  2. a=1>0, więc dodatnio jest poza pierwiastkami.
  3. Końce wyłączam.

Odpowiedź: (−∞;1)∪(3;+∞).

Sprawdzenie i interpretacja: x=0 daje 3>0, x=2 daje −1.

Przećwicz ten zakres

2. Nierówność nieostra

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Rozwiąż x2−4x+3≤0.

Jak podejść do zadania: Wybierz obszar niedodatni.

  1. Pierwiastki to 1 i3.
  2. Wewnątrz wartość jest ujemna.
  3. Oba końce dają 0 i są dozwolone.

Odpowiedź: [1;3].

Sprawdzenie i interpretacja: Dla x=2 wartość −1; na końcach 0.

Przećwicz ten zakres

3. Brak przecięcia osi

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Rozwiąż x2+1>0.

Jak podejść do zadania: Użyj nieujemności kwadratu.

  1. x2≥0.
  2. Po dodaniu 1 wynik jest≥1.
  3. Każde x spełnia>0.

Odpowiedź: R.

Sprawdzenie i interpretacja: Także x=0 daje 1>0.

Przećwicz ten zakres

4. Ramiona w dół

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Rozwiąż−x2+4x−3≥0.

Jak podejść do zadania: Pomnóż przez −1 ze zmianą zwrotu.

  1. x2−4x+3≤0.
  2. Pierwiastki 1 i3 ograniczają obszar niedodatni nowego trójmianu.
  3. Włączam końce.

Odpowiedź: [1;3].

Sprawdzenie i interpretacja: W pierwotnym zapisie dla x=2 mamy 1≥0.

Przećwicz ten zakres

5. Wyłączony podwójny pierwiastek

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Rozwiąż(x−2)2>0.

Jak podejść do zadania: Kwadrat jest dodatni poza swoim zerem.

  1. Zeruje się tylko dla x=2.
  2. Dla każdego innego x jest dodatni.
  3. Ostra nierówność wyklucza 2.

Odpowiedź: R∖{2}.

Sprawdzenie i interpretacja: x=2 daje 0, a x=1 daje 1.

Przećwicz ten zakres

6. Kwadrat mniejszy od zera

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Rozwiąż(x+2)2<0.

Jak podejść do zadania: Sprawdź znak kwadratu bez rozwijania.

  1. Kwadrat rzeczywistej liczby jest≥0.
  2. Nawet dla x=−2 otrzymujemy 0, nie liczbę ujemną.
  3. Nie ma dopuszczalnego x.

Odpowiedź: Zbiór pusty.

Sprawdzenie i interpretacja: Dla wariantu≤0 rozwiązaniem byłoby tylko{−2}.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Przy>0 włączam pierwiastki.

Dlaczego to błąd: W pierwiastkach wynik jest 0.

Poprawnie: Przy ostrym znaku je wyłącz.

Błędne rozumowanie: Przy a <0 znaki są takie same jak przy a>0.

Dlaczego to błąd: Ujemny czynnik odwraca znak.

Poprawnie: Sprawdź kierunek ramion lub pomnóż nierówność przez −1.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • W pierwiastkach wartość wynosi 0, więc spełnia nierówność nieostrą.
  • Parabola może nie przecinać osi albo tylko jej dotykać.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 23.10.2026.

  1. CKE — równanie i funkcja kwadratowa

    Zakres źródła: Rozdział 7, strony 7–8; delta, pierwiastki, postacie i wzory Viète’a