Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: podstawowy i rozszerzenie

Monotoniczność i ekstrema

Funkcja rosnąca większemu argumentowi przypisuje większą wartość. Ekstremum jest lokalnym lub globalnym rekordem wartości, a nie największą współrzędną x. Zawsze podawaj przedział, na którym opisujesz monotoniczność.

Najważniejsze w skrócie

Dla x₁<x₂ funkcja rosnąca spełnia f(x₁)<f(x₂).
Ekstremum oceniamy tylko w podanej dziedzinie.

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

Odczyt wykresu i funkcja kwadratowa.

Po tej lekcji

Patrz na wykres od lewej do prawej
Uwzględnij ograniczenie i przekształcenie

Patrz na wykres od lewej do prawej

Zakres: Podstawowy

Gdy wykres idzie w górę, funkcja rośnie; w dół maleje. Wierzchołek paraboli o ramionach w górę daje minimum. Przy ramionach w dół maksimum.

Nie myl znaku wartości z monotonicznością: funkcja może rosnąć poniżej osi X.

Dla x₁<x₂ funkcja rosnąca spełnia f(x₁)<f(x₂).

Porównujemy dwie wartości dla uporządkowanych argumentów.

Kiedy stosujemy: Dla funkcji stałej zachodzi równość, więc nie jest ściśle rosnąca ani malejąca.

Przykłady zastosowania

−x jest malejąca, mimo że dla x<0 ma wartości dodatnie.

Źródła: [2].

Uwzględnij ograniczenie i przekształcenie

Zakres: Rozszerzenie

Na ograniczonym przedziale największa lub najmniejsza wartość może leżeć na końcu, a nie w wierzchołku. Mnożenie wartości przez ujemną liczbę zamienia wzrost w spadek. Złożenie dwóch malejących funkcji może być rosnące.

Ekstremum oceniamy tylko w podanej dziedzinie.

Poza dziedziną nie wolno szukać lepszej wartości.

Kiedy stosujemy: Przy otwartych końcach kres wartości może nie być osiągnięty.

Przykłady zastosowania

x na(0,1) nie ma maksimum ani minimum.

Źródła: [2].

Sprawdź na interaktywnym modelu

Zobacz, jak to działa

Zmieniaj współczynnik i przesunięcia, aby obserwować wykres. Punkt P pokazuje wartość dla wybranego argumentu. Model służy do swobodnego sprawdzania zależności, bez oceny.

Współczynnik a (różny od zera)Przesunięcie poziome p: 0Przesunięcie pionowe q: 0Argument punktu P: 1

Powiększenie i przesuwanie

Plus i minus zmieniają powiększenie. Strzałki przesuwają powiększoną grafikę, Home przywraca całość. Możesz użyć przycisków lub klawiatury po ustawieniu fokusu na grafice.

Opis i oznaczenia

y = x^2. Zaznaczony argument x = 1.

P: (1; 1)

Punkty wykresu w tabeli

Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku

x: -2,75
y: 7,56

x: -2,63
y: 6,89

x: -2,5
y: 6,25

x: -2,38
y: 5,64

Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku
x	y
-2,75	7,56
-2,63	6,89
-2,5	6,25
-2,38	5,64

Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku
x	y
-2,75	7,56
-2,63	6,89
-2,5	6,25
-2,38	5,64
-2,25	5,06
-2,13	4,52
-2	4
-1,88	3,52
-1,75	3,06
-1,63	2,64
-1,5	2,25
-1,38	1,89
-1,25	1,56
-1,13	1,27
-1	1
-0,88	0,77
-0,75	0,56
-0,63	0,39
-0,5	0,25
-0,38	0,14
-0,25	0,06
-0,13	0,02
0	0
0,13	0,02
0,25	0,06
0,38	0,14
0,5	0,25
0,63	0,39
0,75	0,56
0,88	0,77
1	1
1,13	1,27
1,25	1,56
1,38	1,89
1,5	2,25
1,63	2,64
1,75	3,06
1,88	3,52
2	4
2,13	4,52
2,25	5,06
2,38	5,64
2,5	6,25
2,63	6,89
2,75	7,56

Punkty wykresu w tabeli

Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku

x: -2,75
y: 7,56

x: -2,63
y: 6,89

x: -2,5
y: 6,25

x: -2,38
y: 5,64

Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku
x	y
-2,75	7,56
-2,63	6,89
-2,5	6,25
-2,38	5,64

Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku
x	y
-2,75	7,56
-2,63	6,89
-2,5	6,25
-2,38	5,64
-2,25	5,06
-2,13	4,52
-2	4
-1,88	3,52
-1,75	3,06
-1,63	2,64
-1,5	2,25
-1,38	1,89
-1,25	1,56
-1,13	1,27
-1	1
-0,88	0,77
-0,75	0,56
-0,63	0,39
-0,5	0,25
-0,38	0,14
-0,25	0,06
-0,13	0,02
0	0
0,13	0,02
0,25	0,06
0,38	0,14
0,5	0,25
0,63	0,39
0,75	0,56
0,88	0,77
1	1
1,13	1,27
1,25	1,56
1,38	1,89
1,5	2,25
1,63	2,64
1,75	3,06
1,88	3,52
2	4
2,13	4,52
2,25	5,06
2,38	5,64
2,5	6,25
2,63	6,89
2,75	7,56

y = x²

Wierzchołek W = (0; 0). Ramiona w górę; |a| = 1. Dziedzina: wszystkie liczby rzeczywiste.

f(1) ≈ 1. Rysunek pokazuje tylko widoczny fragment wykresu; wartości poza ramką nadal mogą należeć do zbioru wartości.

Źródła: [1] [2] [3].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Liniowa

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Określ monotoniczność3x−5.

Określ monotoniczność3x−5.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Odczytaj dodatnie nachylenie.

Dla x₂>x₁ różnica wartości to3(x₂−x₁).
Jest dodatnia.
Funkcja jest rosnąca na R.

Odpowiedź: Rosnąca na R.

Sprawdzenie i interpretacja: Wzrost x o1 zwiększa y o3.

Przećwicz ten zakres

2. Parabola

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Podaj monotoniczność(x−2)²+1.

Podaj monotoniczność(x−2)²+1.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Znajdź wierzchołek.

Wierzchołek ma x=2.
Ramiona skierowane w górę.
Maleje do2 i rośnie od2.

Odpowiedź: Maleje na(−∞,2], rośnie na[2,∞).

Sprawdzenie i interpretacja: Im dalej od2, tym większy kwadrat.

Przećwicz ten zakres

3. Maksimum

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Znajdź maksimum−(x+1)²+4.

Znajdź maksimum−(x+1)²+4.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Użyj nieujemności kwadratu.

−(x+1)²≤0.
Najwyżej otrzymamy4.
Równość dla x=−1.

Odpowiedź: Maksimum4 przy x=−1.

Sprawdzenie i interpretacja: Podstawienie−1 zeruje kwadrat.

Przećwicz ten zakres

4. Wierzchołek poza przedziałem

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Znajdź minimum i maksimum(x−2)² na[3,5].

Znajdź minimum i maksimum(x−2)² na[3,5].

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Zbadaj gałąź rosnącą.

Cały przedział leży na prawo od2.
Funkcja jest na nim rosnąca.
Wartości końców:1 i9.

Odpowiedź: Minimum1 przy3, maksimum9 przy5.

Sprawdzenie i interpretacja: Wierzchołek2 nie należy do dziedziny zadania.

Przećwicz ten zakres

5. Brak osiągniętego kresu

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Czy f(x)=x na(0,1) ma maksimum?

Czy f(x)=x na(0,1) ma maksimum?

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Sprawdź, czy istnieje największy argument.

Każde x<1 można zastąpić większym $(x+1)/2.$
Nowy argument nadal należy do(0,1).
Wartość wzrasta, więc żadna nie jest największa.

Odpowiedź: Nie ma maksimum; kres górny wynosi1.

Sprawdzenie i interpretacja: 1 nie należy do przedziału.

Przećwicz ten zakres

6. Dwa odwrócenia

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Określ monotoniczność $(1/2)^(−x).$

Określ monotoniczność(1/2)^−x.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Uprość podstawę.

$(1/2)^(−x)=2^x.$
Podstawa2 jest większa od1.
Funkcja jest rosnąca.

Odpowiedź: Rosnąca.

Sprawdzenie i interpretacja: Przy zwiększeniu x o1 wynik podwaja się.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Funkcja jest rosnąca, bo jest dodatnia.

Dlaczego to błąd: Znak wartości nie opisuje ich zmian.

Poprawnie: Porównaj f(x₁) i f(x₂).

Błędne rozumowanie: Wierzchołek zawsze daje minimum w zadaniu.

Dlaczego to błąd: Może być poza zadaną dziedziną albo parabola może mieć ramiona w dół.

Poprawnie: Sprawdź dziedzinę i znak współczynnika.

Podsumowanie — zapamiętaj

Porównujemy dwie wartości dla uporządkowanych argumentów.
Poza dziedziną nie wolno szukać lepszej wartości.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Monotoniczność i ekstrema — ćwiczenia online

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 02.11.2026.

ZPE: Matematyka — liceum i technikum
Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym
ZPE: Przekształcanie wykresów funkcji kwadratowej
Zakres źródła: Przesunięcia, odbicia i własności wykresów
CKE: Funkcja kwadratowa, potęgi i logarytmy
Zakres źródła: Rozdziały2,3,7: dziedziny, znaki, wierzchołek i zbiory wartości